戴娟 邱雁

摘 要： 在高等代數中，利用行列式展開理論得到了范德蒙行列式的計算結果.多項式理論是高等代數核心理論之一，本文利用范德蒙行列式討論了幾個多項式的計算問題.

關鍵詞： 范德蒙行列式 多項式 拉格朗日插值多項式

在高等代數中有下列結果，n階的范德蒙行列式V■=1 x■ x■■ … x■■1 x■ x■■ … x■■… … … …1 x■ x■■ … x■■=■（x■-x■），當這些x■兩兩互異時，V■≠0，這個結果可以解決一些關于多項式的計算問題.

一、關于多項式根的問題

例1：證明一個n次多項式至多有n個互異根.

證：設f（x）=a■+a■x+…+a■x■有n+1個互異的零點x■，x■，…，x■，x■，則有

f（x■）=a■+a■x■+…+a■x■■=0，1≤i≤n+1，

即a■+x■a■+x■■a■+…+x■■a■=0，a■+x■a■+x■■a■+…+x■■a■=0， …a■+x■a■+x■■a■+…+x■■a■=0，

這個關于a■，a■，a■的齊次線性方程組的系數行列式

1 x■ x■■ … x■■1 x■ x■■ … x■■… … … …1 x■ x■■ … x■■=■（x■-x■）≠0

因此a■=a■=…=a■=0.這表明f（x）至多有n個互異根.

二、關于拉格朗日插值多項式

例2：設a■，a■，…，a■是兩兩互異的數，證明對任意n個數b■，b■，…，b■，存在唯一的次數小于n的拉格朗日插值多項式L（x）=■b■■x-■，使得L（a■）=b■，1≤i≤n.

證：從定義容易看出L（x）的次數小于n，且L（a■）=b■，故只需證明唯一性即可.

設f（x）=c■+c■x+c■x■+…+c■x■滿足f（a■）=b■，1≤i≤n，

即c■+a■c■+a■■c■+…+a■■c■=b■，c■+a■c■+a■■c■+…+a■■c■=b■， …c■+a■c■+a■■c■+…+a■■c■=b■，

這個關于c■，c■，c■，…，c■的線性方程組的系數行列式

1 a■ a■■ … a■■1 a■ a■■ … a■■… … … …1 a■ a■■ … a■■=∏■（a■-a■）≠0，c■，c■，c■，…，c■是唯一的，所以f（x）=L（x）.

三、關于多項式整除問題

例3：設f■（x），f■（x），…，f■（x）是n-1個復系數多項式，滿足1+x+…+x■|f■（x■）+xf■（x■）+…x■f■（x■），證明f■（1）=f■（1）=…=f■（1）=0.

證：f■（x■）+xf■（x■）+…+x■f■（x■）=p（x）（1+x+…+x■），

取ω=cos■+isin■，分別以x=ω，ω■，…，ω■代入，可得

f■（1）+ωf■（1）+…+ω■f■（1）=0，f■（1）+ω■f■（1）+…+ω■f■（1）=0， …f■（1）+ω■f■（1）+…+ω■f■（1）=0.

這個關于f■（1），f■（1），…，f■（1）的齊次線性方程組的系數行列式

1 ω … ω■1 ω■ … ω■… … … …1 ω■ … ω■≠0，因此f■（1）=f■（1）=…=f■（1）=0.

利用例3容易得出：設n是奇數f■（x），f■（x），…，f■（x）是n-1個復系數多項式，滿足x■-x■+x■-…+1|f■（x■）+xf■（x■）+…+x■f■（x■）|，則f■（-1）=f■（-1）=…=f■（-1）=0.

上面這幾道關于多項式的計算問題都通過巧妙地化為范德蒙行列式，得到了解決.

參考文獻：

[1]趙樹嫄.線性代數[M].北京：中國人民大學出版社，2002.

[2]馮錫剛.范德蒙行列式在行列式計算中的應用.山東輕工業學院學報（自然科學版），2000.2.