一道高考題的推廣

何儒彬

1.問題的提出

2014年四川省高考理科第20題是這樣一道題：已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設F為橢圓C的左焦點，T為直線x=-3上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.

（ⅰ）證明：OT平分線段PQ（其中O是坐標原點）；

（ⅱ）當■最小時，求點T的坐標.

筆者在對該題中的第（2）小題進行探討時，發現該結論可以推廣到更一般的情形.

2.問題的推廣與證明

由于第（2）小題結論（ⅰ）對于橢圓來說是一個一般性結論，筆者認為，該結論對于雙曲線也應該成立，當附加一定的條件時，結論（ⅱ）對于橢圓（或雙曲線）應該有一般表達式.

筆者通過深入探究，發現如下一般性結論：

推廣一：如圖1橢圓C：■+■=1（a>b>0）的焦點為F，T為橢圓準線上任一點（焦點和準線在y軸同側），過F作TF的垂線交橢圓于P，Q兩點，則有：

（1）OT平分線段PQ（其中O是坐標原點）；

（2）當c>b時，■有最小值■，這時T點坐標為（-■，-■或（-■，■）；

（3）當T是非x軸上的點時，K■K■=-■；

（4）若P關于坐標原點O的對稱點為P′，則P′Q||OT.

證明：不妨設F（-c，0）為橢圓的左焦點.橢圓左準線：x=-■.

設T（-■，m），則K■=-■，當m=0時，T為橢圓左準線與x軸的交點，這時PQ為橢圓的通徑，OT平分PQ.當m≠0時，因為TF⊥PQ，由K■K■=-1得K■=■（1）

所以直線PQ的方程為y=■（x+c），設P（x■，y■），Q（x■，y■），

聯立■+■=1y=■（x+c）得（a■b■+c■m■）x■+2a■b■cx+a■c■（b■-m■）=0

因為△=4a■b■c■-4a■c■（a■b■+c■m■）（b■-m■）=4a■c■m■（b■+c■m■）>0

所以x■+x■=-■（2）

x■x■=■（3）

由y■+y■=■（x■+x■+2c）=■（2c-■）=■

得PQ的中點G（-■，■）

計算K■=-■，K■=-■得K■=K■.

由此知O，G，T三點共線，即直線OT過線段PQ的中點G，所以OT平分線段PQ.

計算|TF|=■=■（4）

|PQ|=■■

（5）

把（1），（2），（3）式代入（5）式，整理得|PQ|=■（6）

由（4）式，（6）式計算得比值

■=■=■■=■=■

=■■

=■■

≥■■=■.

當c>b時，解出m=±■■，此時■有最小值■，T為（-■，■■）或（-■，-■■）.

根據結論第（1），（2）題證明已計算出K■=■，K■=-■易得K■K■=-■.

點P（x■，y■）關于坐標原點O的對稱點為P′（-x■，-y■），P′Q的斜率K■=■=■/-■=-■，即直線P′Q與直線OT的斜率相等，所以P′Q||OT.

推廣二：如圖2，雙曲線C：■-■=1的焦點為F，T為雙曲線準線上任一點（焦點和準線在y軸同側），且點T的縱坐標m≠±■，過F作TF的垂線交雙曲線于P，Q兩點，則有：

（1）直線OT平分線段PQ（其中O是坐標原點）；

（2）■=■

=■■；

（3）當T是非x軸上的點時，K■K■=■；

（4）若P關于坐標原點O的對稱點為P′，則P′Q||OT.

以上結論的證明與橢圓情形類似，這里不再贅述.

繼續探索.我們把橢圓更換為拋物線，這時結論將如何呢？請看下面的例子：

如圖，拋物線y■=4x的焦點為F，動點T（-1，m），過F作TF的垂線交拋物線于P，Q兩點，弦PQ的中點為N.

（1）證明：線段NT平行于x軸（或在x軸上）；

（2）若m>0且|NF|=|TF|，求m的值及點N的坐標.

解（1）由拋物線的標準方程y■=2px及焦點F（■，0），準線方程x=-■知，此拋物線的焦點F（1，0），準線方程x=-1，動點T（-1，m）在準線上，由斜率公式得K■=-■.

當m=0時，T為拋物線準線與x軸的交點，這時PQ為拋物線的通徑，點N與焦點F重合，易知線段NT在x軸上.

當m≠0時，因為TF⊥PQ，所以K■K■=-1，解得K■=■，于是直線PQ的方程為y=■（x-1）代入y■=4x化簡整理得x■-（2﹢m■）x﹢1=0，△=（2+m■）■-4=m■（4-m■）>0.設P（x■，y■），Q（x■，y■），由韋達定理可知x■+x■=2+m■，y■+y■=■（x■+x■-2）=2m，得弦PQ的中點N（■，2），結合T（-1，m），由斜率公式計算得K■=0，所以NT平行于x軸.

綜上可知，線段NT平行x軸（或在x軸上）.

（2）已知∣NF∣=∣TF∣，在△TFN中，tan∠NTF=■=1知∠NTF=45°，得△TFA是等腰直角三角形（A是準線與軸的交點），所以∣TA∣=∣AF∣=2，動點T（-1，m），得m=2.

因為∠NTF=45°，所以K■=tan45°=1，又F（1，0），可得直線PQ的方程為y=x-1，由m=2得T（-1，2），由（1）知線段NT平行于x軸，設N（x■，y■），則y■=2代入y=x-1得x■=3，所以N（3，2）.

推廣3：拋物線y■=2px（p>0）的焦點為F，T為拋物線準線上任一點，過F作TF的垂線交拋物線于P，Q兩點，弦PQ的中點為N，則線段NT平行于x軸（或在x軸上）.