從一道作業(yè)題引發(fā)的思考

林萍

摘 要： 在作業(yè)習(xí)題教學(xué)中，要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況確定教學(xué)目標(biāo)，對(duì)例題、練習(xí)、習(xí)題進(jìn)行重組.因此，正確和合理選取、配置例題、練習(xí)和習(xí)題，以及選擇適當(dāng)?shù)姆椒ńM織習(xí)題教學(xué)是優(yōu)化的關(guān)鍵.因?yàn)橹灰獙?duì)某一道作業(yè)習(xí)題的條件作一些變動(dòng)不大的處理或者改變向?qū)W生提出這道題的時(shí)間、發(fā)問(wèn)角度，就有可能從本質(zhì)上改變?cè)擃}的教學(xué)意義.

關(guān)鍵詞： 作業(yè)習(xí)題 同類 拓展

伴隨著作業(yè)教學(xué)法的全面推進(jìn)，為了使作業(yè)習(xí)題教學(xué)的效果達(dá)到最優(yōu)化，要切實(shí)把握好以下幾個(gè)程序：第一，審題.即對(duì)題目的條件和結(jié)論有全面的認(rèn)識(shí)，要掌握題目的數(shù)形特征.有些問(wèn)題往往需要對(duì)條件或所求結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使之轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單易解或具有典型解法的問(wèn)題.如果題中給出的條件不明顯，即具有隱含條件，就要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn).通過(guò)認(rèn)真審題，可以為探索解法指明方向.第二，探索.已知條件和問(wèn)題之間有內(nèi)在的邏輯聯(lián)系和必然的因果關(guān)系.在審題之后，引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路，尋找解題途徑，逐漸發(fā)現(xiàn)和形成一些解題規(guī)律.尤其要仔細(xì)分析題目的目標(biāo)是什么，因?yàn)轭}目的目標(biāo)就是尋求解答的主要方向，要掌握解題的思維方向，想方設(shè)法將所給的題目與會(huì)解的某一類題目聯(lián)系起來(lái)，選擇解題策略：試試能否換一種方式敘述題目的條件或簡(jiǎn)化題目的條件或者將該題有關(guān)的概念用它的等價(jià)定義來(lái)代替；將條件分解成幾個(gè)部分，再將這幾部分構(gòu)成一個(gè)新的組合，將所有的局部結(jié)果同題目的條件和結(jié)論作比較，檢查解題意圖是否合理；能否把問(wèn)題分解成一串輔助問(wèn)題，以便依次解答這些輔助問(wèn)題就可以綜合所給題目的解答；研究題的特殊化情況或者某些部分的極端情況，是否會(huì)對(duì)題目有影響.即試圖由一般退化為特殊或從特殊推廣到一般.第三，表述.如何表述解題過(guò)程？一定要合乎邏輯順序，層次分明，嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范，簡(jiǎn)潔明了.教師對(duì)教學(xué)進(jìn)程的每個(gè)階段的解題要求應(yīng)通過(guò)板書示范.先讓學(xué)生模仿，然后養(yǎng)成習(xí)慣，逐步做到數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)準(zhǔn)確，說(shuō)理清楚明白，書寫整潔有序.第四，回顧.在解題以后，回過(guò)頭來(lái)對(duì)解題活動(dòng)進(jìn)行反思、探討、分析與研究是非常重要的環(huán)節(jié).因?yàn)閷?duì)解題過(guò)程的回顧和審視會(huì)對(duì)題目有更全面、更深刻的理解，既可以檢驗(yàn)解題結(jié)果是否正確、全面，推理過(guò)程是否無(wú)誤、簡(jiǎn)捷，又可以揭示數(shù)學(xué)題目之間規(guī)律性的聯(lián)系，發(fā)揮例題、習(xí)題的“遷移”功能，達(dá)到“解一題會(huì)一片”的效果.有時(shí)還會(huì)得到更完美的解答方案.要做好解題教學(xué)的上述四個(gè)環(huán)節(jié)，特別要注意：（1）突出思維過(guò)程，在例題的配置上，以探索性問(wèn)題為主；在解題環(huán)節(jié)上，突出解題思路的探索過(guò)程；在思維層次上，隨著學(xué)生年齡的遞增，注意問(wèn)題的概略解決，給猜想、類比、歸納的推理以應(yīng)有的地位.（2）學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，在解題教學(xué)中要充分發(fā)揮學(xué)生參與活動(dòng)的主動(dòng)性.在課堂上，要給學(xué)生充分的思維活動(dòng)空間，盡可能多地靠學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)解題思路和動(dòng)手作答.（3）要讓學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立、限時(shí)的練習(xí)訓(xùn)練，以期學(xué)生能精力集中，提高練習(xí)的速度和有效性.下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)體會(huì)談?wù)勛鳂I(yè)中的習(xí)題如何解答.

在復(fù)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，作業(yè)1：若函數(shù)y=x■-2x-3的定義域?yàn)閇0，m]，值域?yàn)閇-4，-3]，則m的取值范圍（ ）

A[0，1] B[0，2] C[1，2] D[1，+∞]

作業(yè)2：二次函數(shù)y=x■-4x+4的定義域?yàn)閇a，b]，（a

A[0，4] B[1，4] C[1，3] D[3，4]

分析：作業(yè)1學(xué)生通過(guò)畫圖選項(xiàng)可解決，作業(yè)2學(xué)生通過(guò)畫圖無(wú)法解決.實(shí)際要通過(guò)畫圖討論：二次函數(shù)最值問(wèn)題——對(duì)稱軸固定，區(qū)間變化，根據(jù)對(duì)稱軸在區(qū)間的左、中、右結(jié)合單調(diào)性討論求值域.學(xué)生不清楚分類討論的原因.

1.同類拓展：已知二次函數(shù)f（x）=ax■+bx（a，b是常數(shù)且a≠0）滿足條件：f（2）=0是方程f（x）=x有等根，①求f（x）的解析式；②問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，n（m

同類練習(xí)：已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2x-x■，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)a，b（a≠b），使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇■，■]？若存在，求a，b；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.變題拓展：對(duì)于函數(shù)y=f（x），若同時(shí)滿足下列條件：①f（x）在D上為單調(diào)函數(shù)；②存在區(qū)間[a，b]？哿D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，則有為[a，b]上的閉函數(shù).（1）求閉函數(shù)y=-x■符合條件②的區(qū)間[a，b]；（2）若f（x）=x■-3x■-9x+4，判斷f（x）是否是閉函數(shù)；⑶若y=x■+k是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.讓學(xué)生獨(dú)立完成.（1）求導(dǎo)后得[-1，1]；（2）不是；（3）是增函數(shù)，把a(bǔ)，b看成方程兩個(gè)不等正根，0

3.加深探究：已知函數(shù)f（x）=x■-6x■+9x，是否存在實(shí)數(shù)m，n（m

4.同類變式

⒈已知函數(shù)f（x）=x+■+m（p≠0）是奇函數(shù).（1）求m的值；（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，求f（x）的最小值和最大值.

⒉已知函數(shù)f（x）=ln■+■.（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求證：f（x）的圖像是中心對(duì)稱圖形；（3）設(shè)f（x）的定義域?yàn)镈，是否存在[a，b]？哿D，當(dāng)x[a，b]時(shí)，f（x）的取值范圍是[■，■]？若存在，求實(shí)數(shù)a，b的值；若不存在，說(shuō)明理由.（不存在）

5.鏈接高考

1.已知函數(shù)f（x）=a-■（a>0，x>0），（1）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠0），求a的取值范圍，并求相應(yīng)m，n的值；（3）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍.

2.已知函數(shù)f（x）=|1-■|，x>0.（1）當(dāng)01；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，b（a

教后感：第一，審題.要求解的問(wèn)題是什么？它是哪種類型的問(wèn)題？已知條件是什么？要求的結(jié)論是什么？所給圖形和式子有什么特點(diǎn)？能否用一個(gè)圖形或數(shù)學(xué)式子將問(wèn)題表示出來(lái)？能否在圖上加上適當(dāng)?shù)挠浱?hào)？有什么隱含條件？第二，聯(lián)想.這個(gè)題以前做過(guò)嗎？這個(gè)題以前在哪里見(jiàn)過(guò)嗎？以前做過(guò)或見(jiàn)過(guò)類似的問(wèn)題嗎？當(dāng)時(shí)是怎么想的？題中的一部分以前見(jiàn)過(guò)嗎，在什么問(wèn)題中見(jiàn)過(guò)的？題中所給出的式子、圖形，與記憶中的什么式子、圖形相像？它們之間可能有什么聯(lián)系？解這類問(wèn)題通常有哪幾種方法？可能哪種方法較方便？試一試如何？由已知條件能推得哪些可知事項(xiàng)和條件？要求未知結(jié)論，需要知道哪些條件？與這個(gè)問(wèn)題有關(guān)的結(jié)論有哪些？第三，轉(zhuǎn)化.能否將題中復(fù)雜的式子化簡(jiǎn)？能否對(duì)條件進(jìn)行劃分，將大問(wèn)題化為幾個(gè)小問(wèn)題？能否將問(wèn)題化歸為基本命題？能否進(jìn)行變量替換、恒等變換或幾何變換，將問(wèn)題的形式變得較明顯一些？能否形數(shù)互化？利用幾何方法解代數(shù)問(wèn)題？利用代數(shù)方法解幾何問(wèn)題？利用等價(jià)命題律或其他方法，可否將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)較熟悉的等價(jià)命題？最終目的：將未知轉(zhuǎn)化為已知.在轉(zhuǎn)化階段，有時(shí)學(xué)生尚不會(huì)獨(dú)自分析，需要教師的輔導(dǎo).切勿匆忙把教師想好的解題思路和盤托出或把擬好的解法過(guò)程在黑板上書寫一番，更不能讓學(xué)生死記硬背解法步驟，以記憶代替思考.而應(yīng)分析關(guān)鍵環(huán)節(jié)，激活學(xué)生思維的停滯狀態(tài).一定要讓學(xué)生明白怎樣解題，為什么這樣解？為什么想到這樣解？促進(jìn)學(xué)生的思維活動(dòng)進(jìn)一步發(fā)展.就是審題要有目的性、確定性、隱含性；鏈接相關(guān)知識(shí)、聯(lián)系相識(shí)問(wèn)題、聯(lián)想類同方法；語(yǔ)言、圖形、符號(hào)轉(zhuǎn)化，概念命題轉(zhuǎn)化、數(shù)形轉(zhuǎn)化.習(xí)題主要有以下幾種變換方式：原題不變，用不同的方法解同一題目，即一題多解；原題中的已知條件不變，提不同的問(wèn)題；原題中的已知條件變化，問(wèn)同一問(wèn)題（包括多題一解）；已知條件變化，同時(shí)改變不同的問(wèn)題.已知條件變化主要包含：略取或增加一個(gè)或若干個(gè)已知條件；隱去已知條件；從不同角度改變已知條件.同樣結(jié)論的變化也有上述三種變化.當(dāng)然習(xí)題的變化從否命題、逆命題、偏逆命題等方面來(lái)看也有許多變化.還有用常數(shù)與參數(shù)之間變換，特殊與一般的變換，歸納與類比的推廣，等等.

教師要更新教育觀念，堅(jiān)持以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)的教學(xué)原則.教育家蘇霍姆林斯基曾經(jīng)告誡我們：“希望你們要警惕，在課堂上不要總是教師在講，這種做法不好……讓學(xué)生通過(guò)自己的努力理解的東西，才能成為自己的東西，才是他真正掌握的東西。”按我們的說(shuō)法就是師傅的任務(wù)在于度，徒弟的任務(wù)在于悟.作業(yè)習(xí)題課不能由教師包講，更不能成為教師展示自己解題“高難動(dòng)作”的“絕活表演”，而要讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，從平時(shí)的作業(yè)習(xí)題課中積累解題的一般方法和一般技巧，讓他們?cè)谥鲃?dòng)積極的探索活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新、突破，展示自己的才華智慧，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和悟性，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用.

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