淺談數學建模

詹恒 張東起

摘 要： 數學建模就是用數學語言描述實際現象的過程，是實際事物的一種數學簡化。到了21世紀，數學已經成為一種能夠普遍實施的技術，應用數學解決各類實際問題時，建立數學模型是十分關鍵的一步，而數學建模是聯系數學與實際問題的橋梁。本文簡單介紹了數學建模的基本概念，以及數學建模的一些應用領域。

關鍵詞： 數學建模 概念 背景 過程 應用

1.關于數學模型概念的引入

在美國中西部的一個小鎮上住著一位退休的鐵路工程師W.Johnson。他工作了大半輩子的那條鐵路線正好穿過這個小鎮。Johnson患有失眠癥，退休后，這位老工程師經常會在夜里的某個奇數點時間（但不固定）醒來，且再也不能入睡。后來他發現了一個治療失眠的方法：每當他醒來后，他就沿著小鎮上的那條寂靜的街道步行，一直走到與鐵路的交叉點。他站在那兒，一直等到有一列火車開過來。火車的吼叫聲撕破了寧靜的夜空，這一情景使這一位老工程師心情舒暢。然后他走回家，很快就能睡著。

過了一段時間，他意外地發現，他所看到的火車大都是向一個方向的，而他清楚地記得，這條干線上的火車向東和向西的次數是一樣的。后來他又觀察了一個星期，并且把看到的結果都用一個小本記下來，結果還是一樣。這時他想：是否由于自己每天都在同一個時間起來？于是，他讓一個朋友給他擬了一個長長的隨機時間表，結果還是一樣，和他開始看到的情形差不多。并且，他詢問了火車站，是否有些火車改線了，回答是否定的。這一奇怪的現象使這位老工程師很沮喪，而后完全失眠，身體越發虛弱。

在現實生活中存在一些事情，它們的發生與否并不取決于人們的主觀意愿。那么在客觀世界，有大量的問題就必須通過建立數學模型解決。

2.數學建模的概念

當需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，人們就要在深入調查研究、了解對象信息、作出簡化假設、分析內在規律等工作的基礎上，用數學的符號和語言作表述，也就是建立數學模型，然后用通過計算得到的結果解釋實際問題，并接受實際的檢驗。這個建立數學模型的全過程被稱為數學建模。

3.數學建模的背景

數學作為人類的一種知識體系，它的產生與發展從來都是與人類的社會生產活動密切聯系的。幾何學的知識來源于丈量土地、水利建設、房屋與陵墓的建筑施工，器皿與工具的制作；算術的知識來源于產品的生產、儲備、分配、交換與流通等社會實踐，這是眾所周知的。在運用數學知識解決一個個具體的實際問題時，首要的一步是要把問題所涉及的各種物理量及各個物理量之間的關系暫時地剝離去它們的物理含義，轉換成數學的量及數學符號、語言、表達式，通過數學的推理、演算得到結果，然后再結合原來的物理含義，得出實際問題的答案。這是簡單的數學建模過程。

20世紀中期至今，數學應用的巨大發展是數學發展的顯著特征之一。數學與計算機技術的結合在很多方面直接為社會創造了價值，數學的應用在很多情況下，都要借助數學模型解決。因此，數學建模顯得尤為重要。而且數學應用中的數學建模是培養學生學數學、用數學意識的良好素材。通過數學建模的教學，可以有效提高學生的數學素質和能力。國外很多國家對于數學教育尤其重視，像一些西方國家的大學在二十世紀六、七十年代開設《數學建模》課程，我國則在80年代初將《數學建模》引入課堂。我國全國大學生數學建模競賽創辦于1992年，由79所院校的314隊參加，每年一屆，目前已成為全國高校最大規模的基礎性學科競賽，也是世界上規模最大的數學建模競賽。

4.數學建模的過程

（1）模型準備：了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息，用數學語言描述問題。⑵模型假設：根據實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當的假設。⑶模型建立：在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻畫各變量之間的數學關系，建立相應的數學結構。（盡量用簡單的數學工具）⑷模型求解：利用獲取的數據資料，對模型的所有參數做出計算（估計）。⑸模型分析：對所得的結果進行數學上的分析。⑹模型檢驗：將模型分析結果與實際情形進行比較，以此驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，并進行解釋；如果模型與實際吻合較差，則應該修改假設，再次重復建模過程。⑺模型應用：應用方式因問題的性質和建模的目的而異。

建立的數學模型要具有以下特點：①逼真性與可行性結合。過于逼真，數學模型后期難以處理；過于簡單，模型不能反映問題的實質；②漸近性。由簡到繁，逐步達到目的；③穩定性。指對原始數據的相對穩定性，因為原始數據一般都有一定的誤差，所以不穩定則無實際意義；④非預測性。任何具體問題都有它的特點，無法預測；⑤條理性。通過建模可以使人們對實際問題的認識更深刻、更全面、更條理（如田忌賽馬，應急設施，核競賽等）；⑥可轉移性；⑦技藝性。無規可循，是一門藝術；⑧局限性。計算機下棋，亂走能贏。中醫診斷，模擬難。

模型的分類：（1）按應用領域分：人口模型、交通模型、環境模型、生態模型、城鎮規劃模型、水資源模型、水資源模型等；（2）按所用數學方法分：初等模型（包括微分、差分模型）、概率模型、方程模型、幾何模型、圖論模型、規劃模型、回歸模型、優化模型、統籌模型等；（3）按表現特性分：確定型；隨機型；靜態、動態模型；線性、非線性等；（4）按目的分：描述模型、分析模型、預測模型、優化模型等；（5）按了解程度分：白箱（力學、電學、熱學）；灰箱（生態、氣象、經濟、交通等）；黑箱（生命科學、社會科學）。

5.數學建模的一些應用

這里我只是大概地概述一下，數學建模的應用領域可以說非常廣泛，比如：（1）穩定的椅子：四條腿的椅子能否放穩當？（2）哥尼斯堡七橋問題，哥尼斯堡那里有一條河，稱為普雷格爾河，河上有七座橋。當地人們試圖沿河上每一座橋走一遍，且每一座橋只走一次再返回原出發地，但沒有人能夠成功；（3）迷宮問題；（4）朝鮮戰爭：戰爭開始一年后，美國三德公司的數學家給出的研究報告指出，中國將出兵韓國，從而預示著美國的侵朝戰爭必敗；（5）天文學：冥王星、海王家跳槽金融，將引發金融革命，等等。

數學建模在如今的數學應用上起著重要的作用，國家應該重視中學生對數學建模興趣的培養和學習工作，學習數學建模應當從中學生開始抓起。

參考文獻：

[1]陳汝棟，于延榮.數學模型與數學建模.“第二版”.

[2]姜啟源.數學模型（第二版）.高等教育出版社.

[3]朱道元.數學建模案例精選.科學出版社.