如何讓學生學會“說數學”

楊敏

數學本身是一種語言，一種簡約的科學語言.語言活動是一項重要的數學活動.數學教學要同語言打交道，以語言為媒介，借助書畫或口頭的表述學會原理、概念、公式和方法.在這個過程中，語言有著不容忽視的功能.

在文科班學生的眼中，數學復習課是非常枯燥無味的，沒有了新課的新鮮感，只有不停重復的知識點和變化多端的題型，自覺性差一點的學生很有可能在課堂上睡著.我的想法是以語言的方式驅動教學，努力調動學生活躍的數學思維，盡可能地讓學生多說，營造活躍的課堂氛圍.

請教了幾位同事之后，我在自己的教案里設置了十幾個小問題，以提問的形式進行，由于較簡單，學生配合得還不錯.對于這樣一道題“已知偶函數f（x）在區間[0，+∞）上單調遞增，求滿足f（2x-）

-<2x-<，

得到0

解題完全正確，但是我希望他可以解說一下解題過程，他卻臉漲得通紅，非常尷尬.我幫他分析了圖像的由來，由偶函數的對稱性知函數在整個定義域內的單調性，可以畫出形如二次函數的草圖，結合圖像可得以上不等式.其實，整個過程并不復雜，只要點一下圖像即可，但他那通紅的臉卻讓我不是滋味.

課后，這位同學找到我，他說：老師，我沒想到你會讓我講，這讓我很緊張，我只會寫，以后能不能不要讓我講呢？我沒想到他竟然這么排斥用語言解釋他的思路.他走后，師父在一旁看出我的困惑，指點說：他們不知道“說思路”的好處，當然不愿意講.你如果讓他們感覺到這個好處，就能慢慢接受了.師父的一番話點醒了我，我只求自己的課堂活躍，讓自己感覺很好，對學生而言，似乎沒什么幫助，他們當然不樂意改變了.看來接下來我要讓他們體會到“說數學”的好處了.

一、“說過程”能讓思路更清楚

在接下來的課中，遇到這樣一道題：

在△ABC中，AB=2，=，求S的最大值.

解：設BC=a

cosC==

∴S=AC·BcsinC=a=

令y=-a+24a-16=-（a-12）+128，故y=128

∴S=×=2

這個方法，學生比較容易想到，但具體操作起來卻是相對復雜的函數求最值的問題，對函數掌握要求較高，于是我提問有沒有其他解法.一位成績較好的同學給出了如下解答.

解：以AB所在直線為x軸，AB中點為坐標原點，建立直角坐標系，則A（-1，0），B（1，0），設C（x，y）到AB的距離為|y|

由題意==，化簡得（x-3）+y=8

∴y=2

∴S=×AB×|y|=2

他在解答過程中，基本就是直接讀出過程，我并沒有著急評講，而是問他為什么會想到用建系來做？他竟然告訴我不記得當時是怎么想的了，其他學生大笑.于是我趕緊抓住機會，對他們說：很多同學做題會有這樣的感覺，狀態好的話能靈光一閃想到好點子，但有時候卻怎么也想不到，特別在考試時好像是在碰運氣.立即很多同學附和說：是的，經常有這樣的情況發生.然后我就問他們：你們真覺得這是碰運氣嗎？學生不語.答案當然不是，那么怎么樣才能讓自己保持良好的狀態呢？這需要我們形成良好的思維方式.以這道題來說，條件沒什么可挖掘的，必須從結論出發，求面積一般哪些方法？學生答：S=absinC（公式一），或者S=ah（公式二）.正好發現兩位同學的解答就是這兩種不同的出發點.方法一就是根據公式一，需要求出sinC，于是轉化成函數求最值.而方法二呢？學生開始回答，底是定值，求面積的最大值就是求高的最大值，就需要求點的軌跡.經過這樣分析，學生覺得本以為很難的題目也是水到渠成.那么我剛才講的思維方式就是，從條件入手，看看能否繼續挖掘出其他有價值的條件，然后再從結論入手，知道自己的目標在哪？這個目標能不能簡化點，將條件結論結合，基本都能得到.所以在以后的解題過程中，多問問自己這幾個問題就是思維的形成過程.這就是讓大家“說過程”的目的，不僅可以讓你自己目標明確，而且可以和大家分享你精彩的思維過程.說完這些，我看到不少同學都默默地點了點頭.

果然，在接下來的課堂上，越來越多的同學愿意“說過程”了，課堂氣氛更活躍了.學生為了能在課堂上更好地發揮，課后也做了充分準備，調動了學習的積極性.

二、“說知識”能更好地串聯知識結構

“說數學”不僅是“說過程”，還包括“說知識”和“說體會”，給學生“說數學”的機會，讓學生可以與他人分享自己的思維成果，不斷走向數學學習的成功，激發他們用一顆執著的心開拓自己的數學新天地.學生的解題透露了老師所需的重要信息，根據他們的解答可預測他以后的學習動機和行為，此時老師就可以因材施教了.

以下面這道題為例，由于解法較多，學生回答很踴躍，我將之歸納如下.

例：{a}為等差數列，前n項和為S，且S=100，S=10，則求S.

方法一：基本量思想.

方法二：S，S-S，S-S，…，S-S成等差，公差為d，

故S-10=S+10d=100+10d.

S=S+（S-S）+…+（S-S）=×11

∴d=-22即S=-110

方法三：S-S=a+a+a+…+a=×90=-90

∴a+a=-2

S=×110=×110=-110

這三種方法都是數列中常見的找基本量的關系，整體代換，學生較容易想到.當我再次詢問有沒有其他解法的時候，一個學生高高地舉起手來，解答如下.

方法四：根據等差前n項和，可看成關于n的二次函數，設S=An+Bn，

則S=100A+10BS=10000A+100B，得S=-110.

這是結合數列是一種特殊函數，用待定系數解決問題.經過比較，函數的方法運算相對較簡單，也體現了知識點之間的聯系.學生的興趣一下子被激發出來，大家議論紛紛.沒多久，又有學生提出有更好的方法.

方法五：由上面的方法四，可知為等差數列，故=+90d，

得d=-，∴=+10d=-1，則S=-110.

能根據等差前n項和，可看成關于n的二次函數，推出為等差數列，這是非常漂亮的發現，說明大家把數列與函數相互結合得非常好了.我和學生都很開心，回顧整個過程，總結一下，a與n，S與n都是函數關系，題目中若研究這兩者可適當考慮以上解法.為了加強這方面的運用，我決定讓他們解決下面這個問題：“等差數列{a}的前n項和S，若Sn=（S）對一切n恒成立，求{a}的通項公式.”

學生有如下兩種解法：

方法一：S =（S）即na+d=na++n（n-1）ad

即n+（a-）n=n+（ad-）n+（-ad+a）n

得=ad-=0a-=-ad+a=0

∴d=0a=0或d=0a=1或d=2a=1

∴a=0或a=1或a=2n-1

方法二：設S=An+Bn

S =（S）即An+Bn=An+Bn+2ABn

得A=AB=BAB=0

∴A=0B=0或A=0B=1或A=1B=0

∴a=0或a=1或a=2n-1

從運算上，學生自己可以體會出方法二更簡便.雖然學生“說數學”花了不少課堂時間，但通過他們說知識，我能較清楚地了解他們的“原知識水平”，思考數學問題的方式，以及自主思考、分析數學問題的能力，發現他們的不足之處和閃光點.學生通過積極發言，體會到了成功的喜悅，更重要的是我期待的良好的學習氛圍形成了.