數學總是蘊藏著很深的魅力

吳進華

數學蘊藏著很深的魅力，教數學往往不僅僅是把數學知識教給學生，更重要的是給學生學習數學的感覺，這種感覺可以是疑惑，可以是興趣，可以是突變的思維轉折，也可以是久思之后的茅塞頓開。總之，如果能讓學生扎進去，學生自然不會排斥這門學科，這一點很重要。

七年級數學教材的第一章安排的是《生活·數學》，目的就是讓學生能聯系生活了解數學，而一般第一節課，我總是在和學生聊天。聊什么呢？圍繞數學來聊，從一個這樣的問題開始。我告訴他們，老師也是從一個偶然的問題開始對數學產生興趣的——“一段樓梯，有15節臺階，規定：每次只能走1節或者2節臺階，要想走完這段樓梯，一共有多少種不同的方法？”問題拋出，總有一些同學會很快舉手說出“5種”、“6種”等答案；而一些沉穩的同學，會在細細思考后反駁剛才同學的回答。討論討論之后，大家慢慢發現方法很多，很難數出來。其實，學生這時候已經陷入這個問題中了，這正是教學最好的時候。所以，我就鼓勵他們：“解決數學問題，需要適合的方法；問題往往需要從基礎模型開始建立思考。”

“既然大家覺得15節臺階方法太多，不能列舉，那么我們假設如果只有1節臺階，情況會如何？”，這時候學生開始列舉：

1節 1 方法：1種

2節 1/1或2 方法：2種

3節 1/2或2/1或1/1/1 方法：3種

4節 2/2或2/1/1或1/2/1或1/2/2或1/1/1/1 方法：5種

5節 2/2/1或2/1/2或1/2/2或1/1/1/2或1/1/2/1或1/2/1/1或2/1/1/1或1/1/1/1/1

方法：8種

…… ……

當學生按照順序列舉后，細心的同學很快就發現了規律：“方法數的規律是后面的一個數字是前面兩個數字。”學生很快就計算出15節臺階的方法數是987。

學生都驚嘆，竟然有這么多種方法。如果用列舉的方法寫，根本寫不完。這就是一個從簡單模型到復雜模型的過渡，學生都嘆服，原來這個數學問題可以這樣。我會再補充一些關于斐波那契數列的知識，學生聽得津津有味，對數學的興趣不言而喻。

數學的魅力總是在時間軸上一些細微的地方閃現，而學生很少能注意到這其中的一些聯系。下面的這個例子我認為系統地講給學生非常棒。

這是初一下學期的一道習題：有條小河l，點A，B表示在河兩岸的兩個村莊，現在要建造一座水站向兩個村莊供水，請你找出水站P的位置，使得到A，B兩村的路程最短，并說明理由。

初一學生面對這個問題，并不難，很容易地找到了答案：連接A、B兩點即可，給出的理由是小學學過的——兩點之間，線段最短。

進入初二上學期，學生開始學習《軸對稱》的知識，又遇到了這樣一個題目：

有條小河l，點A，B表示在河同岸的兩個村莊，現在要建造一座水站向兩個村莊供水，請你找出水站P的位置，使得到A，B兩村的路程最短，并說明理由。

這個題目意在考查學生新學的知識——軸對稱的性質。但是在同學們以前學習過的內容上加入了新的元素。只要找到點A關于l的對稱點A，連接AB，找到和l的交點P即可。

知識總是這樣，從簡單到復雜，把人們不斷推向更高的高度。進入初二下學期，對學生圖形認識的要求越來越高，我總是反復說，要回憶過去，聯系新知。當他們遇到這個題目的時候更是這樣。

如圖，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中點，點P是對角線AC上一動點，則PE+PB的最小值為 ？搖。

如何才能找到最小值呢？學生在復雜圖形中往往不能把無用部分去掉，把有用部分找出來。我們把重點標出再來看看：

正方形的B、D兩點關于對角線AC對稱，所以PB的長度就是PD的長度。PE+PB的問題很自然地就轉化成了PD+PE的問題，一目了然——最小值應該就是線段DE的長度，利用勾股定理求得DE的長度就是2。

每每講到此處，我都會花點時間和學生說說過去，和他們一起回憶過去遇到過的簡單的模型，和他們一起思考現在出現的模型，也許還能暢想一下以后會遇到的更多有趣的問題。

數學的魅力正在于此，每時每刻，你總是能找到過去的影子。只要你能平時多點留心，多一點思考，多一點總結，數學能成為每個人最好的朋友。