帶電粒子在勻強磁場中運動的分析

余少洪

摘 要： 本文介紹帶電粒子在勻強磁場中的運動規律，重點介紹了如何找圓心，確定半徑和計算時間的方法。作者在高三連續從教八年之久，感覺學生對帶電粒子在磁場中的運動規律總不是很明確，感覺有必要系統歸納一下，希望能對部分學生起到拋磚引玉的作用。

關鍵詞： 帶電粒子 勻強磁場 運動分析

一、帶電粒子在磁場中的運動

1.勻速直線運動：若帶電粒子的速度方向與磁場方向平行（相同或相反），此時帶電粒子所受的洛倫茲力為零，帶電粒子將以入射速度v做勻速直線運動。

2.勻速圓周運動：若帶電粒子垂直勻強磁場方向進入磁場，則做勻速圓周運動。

（1）qvB=m■，得出r=■

（2）T=■=■

注意：①洛侖茲力始終和速度垂直，洛侖茲力不做功。

②r與v有關，T與v、r無關。

圖3.6-2 帶電粒子在勻強

磁場中做勻速圓周運動。

3.等螺距的螺旋線運動：當帶電粒子與磁場一夾角θ（θ≠0o，900，1800）時，帶電粒子做等螺距的螺旋線運動。

二、帶電粒子在有界勻強磁場中做圓周運動的解題方法

正確解決這類問題的前提和關鍵是：畫軌跡、找圓心、定半徑、求時間。

1.找圓心：圓心一定在與速度方向垂直的直線上，通常有四種情況。

（1）已知入射點與方向和出射點與方向時，可以通過入射點和出射點分別作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌道的圓心。

（2）已知入射點與入射方向和出射點的位置時，可以通過入射點作入射方向的垂線，連接入射點和出射點，作其中垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌道的圓心。

（3）已知圓弧兩不平行弦，兩弦的中垂線必為圓心。

（4）已知粒子進入磁場和離開磁場時的速度方向（具體的位置未知），則圓心必在速度夾角的角平分線上。

根據以上總結的結論可以分析下面幾種常見的不同邊界磁場中的運動規律：

①直線邊界（進出磁場具有對稱性，如圖（a）、（b）、（c）所示）；

②平行邊界（存在臨界條件，如圖（a）、（b）、（c）所示）；

③圓形邊界（沿徑向射入必沿徑向射出，右圖所示）。

2.定半徑：

（1）利用公式r=■計算，再利用幾何圖求其他量。

（2）用幾何知識（勾股定理、三角函數等）求出半徑的大小。

3.求時間：粒子在磁場中運動一周的時間為T，當粒子運動的圓弧所對應的圓心角為α時，其運動時間表示為：t=■T（或t=■T）.

注意：偏向角Ф，圓心角α，弦切角θ三者關系：Ф=α=2θ.

例1.如圖所示，一束電子（電量為e）以速度v垂直射入磁感應強度為B，寬度為d的勻強磁場中，穿過磁場時速度方向與電子原來入射方向的夾角是30°，則電子的質量是？搖？搖 ？搖？搖？搖，穿過磁場的時間是？搖？搖？搖 ？搖？搖。

解析：電子在磁場中運動，只受洛倫茲力作用，故其軌跡是圓弧的一部分，又因為F⊥v，故圓心在電子穿入和穿出磁場時受到洛倫茲力指向交點上，如圖中的O點，由幾何知識知，圓心角θ=30°，所以r=d/sin30°=2d.

又由r=■得m=2dBe/v.

又因為AB圓心角是30°，所以穿過時間t=■T=■×■=■.

例2.如圖所示，勻強磁場的磁感應強度為B，寬度為d，邊界為CD和EF.一電子從邊界CD外側以速率v■垂直射入勻強磁場，入射方向與邊界CD間夾角為θ.已知電子的質量為m、電荷量為e，為使電子能從磁場的另一側EF射出，則電子的入射速率v■至少多大？

解析本題考查圓周運動的邊界問題.當入射速率v■很小時，電子會在磁場中轉動一段圓弧后又從CD一側射出.入射速率越大，軌道半徑越大，當軌道剛好與邊界EF相切時，電子恰好能從EF射出，如圖所示，電子恰好能射出時，由幾何知識可得

r+rcosθ=d.

由evB=m■得r=■.

聯立得v■=■，

故電子要射出磁場，速率至少為■.

針對練習：如下圖，在xOy坐標系的第一象限內有互相正交的勻強電場E與勻強磁場B，E的大小為1.0×10■V/m，方向未知，B的大小為1.0T，方向垂直紙面向里；第二象限的某個圓形區域內，有方向垂直紙面向里的勻強磁場B′。一質量m=1×10■kg、電荷量q=1×10■C的帶正電微粒以某一速度v沿與x軸負方向60°角從A點沿直線進入第一象限運動，經B點即進入處于第二象限內的磁場B′區域，一段時間后，微粒經過x軸上的C點并與x軸負方向成60°角的方向飛出。已知A點的坐標為（10，0），C點的坐標為（-30，0），不計粒子重力，g取10m/s■。

（1）請分析判斷勻強電場E的方向并求出微粒的運動速度v；

（2）勻強磁場B′的大小為多大？

（3）B′磁場區域的最小面積為多少？

【思路點撥】洛倫茲力與安培力的關系：洛倫茲力是安培力的微觀實質，安培力是洛倫茲力的宏觀表現。所以洛倫茲力的方向與安培力的方向一樣也由左手定則判定。

【解析】（1）由于重力忽略不計，微粒在第一象限內僅受電場力和洛倫茲力，且微粒做直線運動，速度的變化會引起洛倫茲力的變化，所以微粒必做勻速直線運動。這樣，電場力和洛倫茲力大小相等，方向相反，電場E的方向與微粒運動的方向垂直，即與x軸正方向成30°角斜向右上方。

由力的平衡條件有Eq=Bqv

得v=■=■m/s=10■m/s

（2）微粒從B點進入第二象限的磁場B′中，畫出微粒的運動軌跡如右圖。

粒子在第二象限內做圓周運動的半徑為R，由幾何關系可知：

R=■cm=■cm

微粒做圓周運動的向心力由洛倫茲力提供，即qvB′=m■

B′=■=■代入數據解得B′=■T

（3）由圖可知，B、D點應分別是微粒進入磁場和離開磁場的點，磁場B′的最小區域應該分布在以BD為直徑的圓內。由幾何關系易得BD=20cm，磁場圓的最小半徑r=10cm。

所以，所求磁場的最小面積為S=πr■=0.01π=3.1×10■m■.

參考文獻：

[1]物理選修3-1.人民教育出版社.

[2]劉增利.教材解讀與拓展選修3-1.開明出版社.