重建三角，全局皆活

鐘立璇

摘 要： 本次研究應(yīng)用教學(xué)實(shí)例說(shuō)明了初中數(shù)學(xué)教師可利用三角教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散能力、樹(shù)立學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、建立學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)。

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué)教學(xué) 三角教學(xué) 課程結(jié)構(gòu)性改革

目前部分初中教師會(huì)在幾何課或解析幾何課上引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)三角知識(shí)，這些教師對(duì)待三角的知識(shí)如同對(duì)待四邊形、梯形一般。筆者認(rèn)為，三角的知識(shí)與其他圖形的幾何知識(shí)不同，它是坐標(biāo)知識(shí)、函數(shù)知識(shí)、幾何知識(shí)的橋梁，學(xué)生只要透徹理解三角知識(shí)，就能形成一個(gè)較完善的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，為此，初中數(shù)學(xué)教師要改變現(xiàn)有的課程結(jié)構(gòu)，加大三角教學(xué)的分量。

一、應(yīng)用三角教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，遇到的第一個(gè)問(wèn)題為數(shù)學(xué)思路不寬廣，如果學(xué)生的解題思路過(guò)于狹窄，往往就會(huì)陷入解題的困境。三角教學(xué)具有幾何教學(xué)的特征，教師可引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)三角知識(shí)的時(shí)候，拓寬解題思路，培養(yǎng)發(fā)散思維。

以數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生思考習(xí)題1為例：設(shè)有兩個(gè)角α和β，兩角的范圍為0°～180°，如果α+β<180°，在α<β的前提下求證較大的角其正弦值亦較大。

部分初中生中看到這道題，就覺(jué)得這一題談到的問(wèn)題很寬泛，找不到解題的切入點(diǎn)。教師可引導(dǎo)學(xué)生用以下方法思考問(wèn)題：當(dāng)覺(jué)得數(shù)學(xué)問(wèn)題很復(fù)雜的時(shí)候，可以嘗試把數(shù)學(xué)問(wèn)題畫(huà)成圖形，借直觀的圖形思考數(shù)學(xué)問(wèn)題；當(dāng)畫(huà)出圖形以后，開(kāi)始思考這個(gè)圖形是這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的特殊圖形嗎？它是否能夠代表題目描述的意思？如果圖形不能完全展現(xiàn)題目的意思，那么繪出其他的變化；分析繪出的圖形，思考可否用添加輔助線、延長(zhǎng)線等解決問(wèn)題。以該題的解答為例。

證明：參看圖1，∠ACB=β-α，DC為∠ACB的平分線，并且AB⊥CD，現(xiàn)在線段AB上作延長(zhǎng)線E，構(gòu)成△ACE，依條件設(shè)∠ECB=α，∠ACE=β，依題意需求證sin（β）>sin（α）。由于S（ACE）>S（BCE），可推出bdsin（∠ACE）>adsin（∠BCE），即可推出sin（∠ACE）>sin（∠BCE），即可得S（ACE）>S（BCE）。

習(xí)題1就是借助圖形描述習(xí)題表達(dá)的內(nèi)容，利用圖形直觀性的特點(diǎn)解決抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題的例子。初中數(shù)學(xué)教師可借幾何圖形教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的想象力，當(dāng)學(xué)生具備了發(fā)散思維能力以后，遇到了數(shù)學(xué)難題，就能用數(shù)形結(jié)合思想，把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成直觀的幾何圖形，利用發(fā)散思維思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，直至找到數(shù)學(xué)問(wèn)題的切入點(diǎn)。

在初中數(shù)學(xué)的三角教學(xué)中，三角涉及幾何知識(shí)、函數(shù)知識(shí)、向量知識(shí)、坐標(biāo)知識(shí)等，教師可應(yīng)用三角教學(xué)直觀性的特點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

二、應(yīng)用三角教學(xué)樹(shù)立學(xué)生的數(shù)學(xué)思想

部分初中生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力不強(qiáng)，他們遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，常常找數(shù)學(xué)課本中的例題，他們必須依靠“依樣畫(huà)葫蘆”的方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)教師要了解到，越是深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題就越抽象、越復(fù)雜，學(xué)生越可能找不到現(xiàn)有的例子，為了讓學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，教師必須讓學(xué)生具備解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的利器。以教師引導(dǎo)學(xué)生思考習(xí)題2為例：求證直角三角形中，30°角的對(duì)邊是斜邊長(zhǎng)度的一半。這一題是較簡(jiǎn)單的證明題，學(xué)生可以用多種幾何方法解答這一題。然而教師可要求學(xué)生用非幾何的方法證明這一題，即教師要求學(xué)生應(yīng)用數(shù)形轉(zhuǎn)換的知識(shí)解答這一題。有一位學(xué)生的解答過(guò)程如下。

應(yīng)用直角三角形的三角形內(nèi)角和為180°的定理，可得到正弦和角公式：

這位學(xué)生應(yīng)用學(xué)過(guò)的正弦和角公式回答出這一題，在解答過(guò)程中，他將三角問(wèn)題轉(zhuǎn)換為方程問(wèn)題，簡(jiǎn)化了解題步驟。教師在教學(xué)的時(shí)候要引導(dǎo)學(xué)生注意到幾何問(wèn)題、計(jì)算問(wèn)題實(shí)際上是互通的，學(xué)生必須掌握數(shù)學(xué)思想，學(xué)會(huì)從宏觀的角度看待數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

初中數(shù)學(xué)教師可應(yīng)用解三角形的知識(shí)，讓學(xué)生意識(shí)到應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路。

三、應(yīng)用三角教學(xué)建立學(xué)生的知識(shí)體系

部分學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)思想的基本用法，可是他們提出一個(gè)問(wèn)題：數(shù)學(xué)思想計(jì)有十幾種，在遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)用哪種數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題呢？數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生從宏觀的角度看待問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生理解到應(yīng)用數(shù)學(xué)思想是為了簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題。

數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在緊密聯(lián)系，這種緊密性在三角知識(shí)中展現(xiàn)得尤為明顯，初中數(shù)學(xué)教師可以三角教學(xué)為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這種聯(lián)系，從而學(xué)會(huì)從宏觀的角度看待數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立完善的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

結(jié)語(yǔ)

三角教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的教學(xué)重點(diǎn)，本次研究應(yīng)用教學(xué)實(shí)例說(shuō)明了初中數(shù)學(xué)教師可利用三角教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散能力，樹(shù)立學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，建立學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)。為了讓學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)教師要拓寬三角教學(xué)的范圍、增加三角教學(xué)的深度、深入三角教學(xué)的實(shí)踐，讓學(xué)生從三角知識(shí)這一切入點(diǎn)深入理解數(shù)學(xué)科學(xué)的內(nèi)涵，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，從而學(xué)好數(shù)學(xué)這門(mén)課程。

參考文獻(xiàn)：

[1]俞健，唐松錦.初中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)調(diào)整的教學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí)[J].新課程學(xué)習(xí)（下），2015（03）.

[2]李月霞.三角形中含10°整數(shù)倍角問(wèn)題的三角解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2012（04）.