用概率玩游戲

方弦

除了應用于那些高大上的金融行業外，概率論還能為我們設計一些小小的消遣游戲。畢竟人們雖然希望避免天災人禍這樣巨大的不確定性，但卻十分歡迎無傷大雅小小的不確定性。一場游戲，一局勝負，就能換來大家的歡笑。在桌上彈跳的骰子，在指尖翻動的硬幣，都能給我們帶來緊張刺激的樂趣。

既然偶有閑暇，何不玩個小游戲？

完全公平的對決

與紙幣相比，雖然硬幣的流通價值通常不大，但它卻具有一個保衛世界和平的職能——解決各種爭端。據說，當遇到不可調解的分歧時，為了做出決定，人們的首選往往是猜拳，其次就是拋擲硬幣。就連足球賽場上開球方的選擇，也是由硬幣決定的。

如果一枚硬幣兩面的性質（如重量、材質等）完全一樣，那么擲出正面或者反面的可能性顯然是均等的——應當是50%與50%。但事實卻并非如此，由于設計的原因，硬幣正反面的花紋是不一樣的，從而導致了重心與中心的微小偏差。

以人民幣一元硬幣為例，正面是代表面額的“1”字，而反面則是菊花，那么重心就會稍微偏向反面；歐元就更麻煩了，不同歐元區國家的鑄幣廠會打造出不同的背面花紋，因此重心偏向也因這些花紋而異。正是因為這小小的重心偏向，導致我們在擲硬幣時，正反面出現的概率也會有些許偏差。幸好因花紋導致的概率偏差非常小，我們在日常生活中往往可以忽略不計。

但是，我們有沒有辦法修正這個偏差呢？或者，至少能找到一個方法，讓有重心偏向的硬幣產生無偏差的結果，使游戲盡量公平呢？

我們假設某枚硬幣擲出正面的概率是p，并用以下方法產生拋擲硬幣的結果：擲兩次硬幣，如果兩次的結果相反，則認定后擲出的情況為結果，否則重新再擲兩次。更具體地說，如果結果是“反正”的話，那就當作擲出了正面；如果是“正反”的話，那就認定結果為反面；如果是“正正”或者“反反”的話，那就重新再來。

在這樣的游戲設定中，每次拋擲硬幣，結果為正面或反面的概率都是p（1-p），顯然是完全公平的。以后再跟你的朋友玩硬幣游戲的時候，切記使用這個方法，并告訴他：“這是理性的科學！”

擲硬幣排先后

如果你和你的小伙伴需要決定游戲時的先后順序，那么拋硬幣應當是個很好的解決方案。但如果小伙伴不止一位的話，單靠硬幣可能就不太容易解決問題了。

假設我們要從四個人里公平地選出一人，那么共擲兩次硬幣，并將四種不同的結果（正正、正反、反正、反反）分別指派給每個人，擲出哪種結果就選哪個人，這個方法似乎還是挺方便的。當然，只有總人數為偶數時，才可以使用這種方法，但如果只有三個人呢？

面對這種情況，我們還有一種比較容易的解決方法：還是拋擲兩次硬幣，并將正正、正反、反正三種結果指派給三個人。如果擲出的結果是指定的結果之一，那么就選出對應的人。當然，如果我們運氣不好，擲出“反反”的結果，那就重新開始另一輪的硬幣拋擲。

顯然，這種方法保證了游戲的公平性。因為在每輪硬幣拋擲中，每種結果出現的概率都是相同的。但萬一我們一連好幾輪都擲出“反反”，那這種方法會不會過于浪費時間了呢？

不可能！我們不妨計算一下，每輪擲出“反反”重新開始的概率恰好是1/4，而n輪都出現如此情況的概率應當是1/4的n次方。當n越來越大的時候（即拋擲硬幣輪數越來越多），這個概率會迅速變小。如果n=5，那么數值已經變成1/1024了。試想一下，3個骰子同時擲出“6”的概率也僅有1/216而已。

其實直觀來看，一輪拋擲無法決出結果的概率也并不高，所以這個方法應當不會耗費我們太多時間。更嚴格的計算表明，用上述方案從三個人中選出一個，平均只需要拋擲8/3次硬幣就能得出結果，算起來也只比兩次多一點點而已，說明這種方法相當有效。

這種方法可以推廣到任意人數，而且平均需要投擲硬幣的次數也一定不會太多。事實上，不論使用哪種方法，隨著人數的增長，平均投擲次數也一定會相應增加。

杯子下的雞蛋

你一定看到過魔術師常常用杯子、雞蛋和硬幣作為道具，向觀眾展示他的魔法。假如今天我們的游戲也有三個不透明的紙杯，倒扣在桌上，其中分別藏著兩枚硬幣和一個雞蛋，然后由你的朋友偷偷將它們的位置隨機打亂，而你的任務就是指出雞蛋的正確位置。如果只有一次機會，顯然你完成任務的概率只有1/3。

如果你的朋友還愿意給你一點幫助，那結果會有所改變嗎？當你指定一個杯子藏有雞蛋后，那么其余的兩個杯子中至少有一個藏著一枚硬幣。這時，如果你的朋友在那兩個杯子中，打開了一個藏著硬幣的杯子，那么你該如何選擇？是依舊堅持原來的決定，還是換另一個杯子？也許你會問，這兩個選擇之間有什么不同嗎？既然已經有一個藏著硬幣的杯子打開了，那選擇剩下兩個杯子中的任意一個不都一樣嗎，換與不換有什么區別呢？

如果我們換一種思考方式，得到的結果就會大不相同。假如你還是堅持原來的選擇，那么無論你的朋友在游戲中途做了什么，都不會影響你的獲勝概率——仍舊和原來一樣，是1/3。但如果你更換選擇，那么獲勝概率就會變成2/3。這究竟是什么原因，為什么換一個杯子會讓你的獲勝概率提高1倍呢？

讓我們來做一個詳細的概率分析。如果一開始你就選擇了正確的杯子，那么換杯子的確會導致失敗，但這種情況發生的概率只有1/3。但如果一開始你就沒有選對杯子，那么剩下的兩個杯子中就一個是硬幣，一個是雞蛋。由于你的朋友給了你一點小幫助，那么很顯然，剩下的那個杯子里藏有雞蛋。如果此時你更改選擇的話，必然能完成任務，而這種情況發生的概率則是2/3。

其實我們不難理解，之所以換與不換的結果有差別，就是因為你的朋友知道雞蛋在哪里。而他通過打開一個藏有硬幣的杯子，間接地幫助你縮小了范圍，確定了答案。

這個問題又被稱為“三門問題”，其基礎模型正是出自那檔著名的美國電視節目《Let’s make a deal》。在節目中，選手會面對一個大屏幕，大屏幕上有3扇門，其中兩扇藏著羊，另一扇則藏著汽車，能選出藏有汽車那扇門的參賽者就能開走它。游戲的玩法與上述的硬幣、雞蛋游戲如出一撤。如果我們能掌握點概率學知識，說不定關鍵時刻就能得償所愿！

當然，除了應付這些小游戲外，概率論還能在很多“大游戲”中一顯身手。譬如在網游中，如何更有效地獲取稀有道具；或是在特定情境下，如何在增加一倍攻擊力和擁有10%概率打出10倍暴擊的道具間做出選擇。這些問題都能由概率論給出答案。

雖然概率的美妙之處就在于它的隨機性和不確定性，但我們不得不承認，玩游戲時用概率，算算更有趣！

讓我們準備3張卡片，1號卡片正反面都是黑色（A與D），2號卡片正反面都是紅色（B與E），3號卡片一面是黑色、另一面是紅色（C與F）。然后把卡片放進一個盒子里，搖一搖，讓對手抽一張平放在桌子上，接著和他賭反面的顏色和正面的一樣。

直覺告訴我們，獲勝的概率應當是1/2，但事實上并非如此。在這個被稱為“三張卡片的騙局”的游戲中，你的獲勝概率究竟是多少呢？