“切”行且“析”

馬路廣

摘 要：圓錐曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題在高考真題或模擬題中屢見(jiàn)不鮮.橢圓的切線(xiàn)問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為利用判別式為零求解，還可以逆向思考或辯證巧析求解.此類(lèi)方法可用于解決雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線(xiàn)；切線(xiàn)問(wèn)題；解析

圓錐曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題，高中教材從未涉及，但在一些高考真題或模擬題中屢見(jiàn)不鮮.如：

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線(xiàn)相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.

（Ⅰ）求橢圓C及其“準(zhǔn)圓”的方程；

（Ⅱ）在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作兩條作兩條直線(xiàn)l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個(gè)公共點(diǎn)，試判斷l(xiāng)1，l2是否垂直，并說(shuō)明理由.

現(xiàn)以題2中橢圓剖析如下：

一、淺析：通性通法

此類(lèi)問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為利用判別式為零求解.

（2）設(shè)P（s，t），則s2+t2=4.

即（3k2+1）x2+6k（t-ks）x+3（t-ks）2-3=0，

由Δ=36k2（t-ks）2-4（3k2+1）[3（t-ks）2-3]=0，

可得（3-s2）k2+2stk+1-t2=0，其中3-s2≠0，

設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，則k1，k2是上述方程的兩個(gè)根，

綜上可知，對(duì)于橢圓C“準(zhǔn)圓”上的任意點(diǎn)P，都有l(wèi)1⊥l2.

由點(diǎn)P的任意性，我們逆向思考，如果l1，l2都與橢圓C相切，那么l1與l2交點(diǎn)P的軌跡是否是圓呢？

二、探析：逆向變式

證明：設(shè)交點(diǎn)P（x0，y0），過(guò)P與橢圓相切的直線(xiàn)方程為：y-y0=k（x-x0），

將它與橢圓方程聯(lián)立消y整理得：（a2k2+b2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a[（y0-kx0）2-b2]=0.

因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓相切判別式為零，

所以a4k2（y0-kx0）2-（a2k2+b2）a2[（y0-kx0）2-b2]=0，

整理得：（a2-x02）k2+2x0y0k+（b2-y02）=0.

兩直線(xiàn)垂直則：k1k2=-1.

所以P點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

三、巧析：辯證思維

我們改變橢圓位置，看下面問(wèn)題：

題3：如圖，一個(gè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b的橢圓，在第一象限內(nèi)滾動(dòng)，并且始終與兩坐標(biāo)周相切，求該橢圓中心的軌跡方程.

四、研析：類(lèi)比推廣

橢圓是封閉曲線(xiàn)，由題2所揭示的性質(zhì)，對(duì)于雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)是否有類(lèi)似結(jié)論.

有興趣的讀者不妨一試，“切”行且“析”.

編輯 魯翠紅