淺談抽象不等式求解的靈活應用

畢言風

函數與不等式的關系是整個高中代數部分的核心，貫穿著高中數學的始終，是高考命題人的心頭好.抽象不等式的考查也備受命題人的青睞，抽象不等式的求解我將其概括為兩步：（1）達標（不等式兩邊形式統一）。（2）去“f”（利用函數的單調性去掉“f”，轉變為研究自變量的關系）.本文從常見的抽象不等式求解入手，對兩個非嚴格以上的抽象不等式求解的賞析，探本溯源，探索抽象不等式求解的“形”與“質”.

一、掀起你的蓋頭來

解析：因為f（a-2）+f（a）>0，所以f（a-2）>-f（a）.又因為f（x）為奇函數，所以f（a-2）>f（-a），并且f（x）在（-∞，+∞）內遞減，a-2<-a.解得a<1，故答案選D.

評注：f（x）為分段函數，直接求解f（a），f（a-2），在代入解析式時需要分類討論，這樣求解并不簡單.那我們就要透過形式看本質.題目所給的分段函數我們可以很容易得到它是奇函數，在（-∞，+∞）內遞減.像這種非嚴格意義上的抽象不等式，也可以遵循“兩步走”的解法，而取得事半功倍的效果.第一步：利用奇函數的性質達標，得到f（a-2）>f（-a）.第二步：再利用函數的單調性，去“f”得到a-2<-a，由此得解.

三、探本溯源

例3.已知函數f（x）=ex-1-ax（a∈R）

（1）求函數f（x）的單調區間.（2）若g（x）=ln（ex-1）-lnx，當0解：（1）f′（x）=ex-a，當a≤0時，f′（x）>0，此時f（x）在（-∞，+∞）上遞增，當a>0時，由f′（x）>0得x>lna；由f′（x）<0，得x