數形結合思想巧解熱點問題

朱季生

摘 要：數與形是數學中兩個最基本的問題，它們在一定的條件下可以互相轉化.數形結合是數學中非常重要的思想方法，華羅庚先生曾指出：“數缺形時少直覺，形少數時難入微.”數形結合就是對題目中的條件和結論既分析其代數意義，又分析其幾何含義，對于選擇題、填空題，數形結合可起到直接解題的作用，在解答題中，則可以起到輔助解題的作用，從而達到事半功倍的效果.縱觀多年的高考試題，利用函數圖象處理問題的關鍵在于轉化與構造.一般的，可以把問題轉化為一次函數、二次函數、圓錐曲線或三角函數的圖象性質問題加以解決.方程的解可以轉化為曲線的交點問題，從而把代數與幾何有機地結合起來，使問題得到簡化.

關鍵詞：數形結合；函數圖象；代數；幾何

一、巧解集合問題

在數學問題中，進行集合運算中常常借助對應的數軸、文氏圖來處理集合的交、并、補等運算。從而使復雜的問題得以更加簡單化，使運算更加快捷、明了，更快速有效.

例1.（2008北京卷，理1）已知全集U=R，集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|x<-1或x>4}，那么集合A∩（CUB）等于（ ）

A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3或x≥4}

C.{x|-2≤x<-1} D.{x|-1≤x≤3}

分析：不等式表示的集合通過數軸解答.

解：在數軸上先畫出CUB{x|-1≤x≤4}，再畫出集合A={x|-2≤x≤3}，取其公共部分，如圖所示陰影部分就是集合A∩（CUB），故選D.

二、在基本初等函數中的應用

在解決一類不等式或方程問題時，直接解決十分困難，因此可以通過構造函數，結合函數的圖象及不等式或方程表達的幾何意義，利用數形結合法解.

數形結合思想是數與形的完美結合，是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在解決問題時我們既要考慮代數問題在形上的直觀體現，又要考慮幾何問題在數上的精確表示，達到“數形結合百般好，割裂分家萬事非”的境界。

編輯 魯翠紅