一類廣義Sierpin＇ski圖的原子鍵連通度

辛玉忠， 梁曉東

（新疆大學數學與系統科學學院，新疆烏魯木齊830046）

一類廣義Sierpin＇ski圖的原子鍵連通度

辛玉忠， 梁曉東?

（新疆大學數學與系統科學學院，新疆烏魯木齊830046）

Sierpin＇ski圖；廣義Sierpin＇ski圖；ABC指標

拓撲指標在化學，藥理學等方面的研究中發揮著重要的作用。上世紀中葉以來，研究者們提出了各種各樣的拓撲指標（參見［1，2000］），其中以1975年由MilanRandic′提出的Randic′指標最具代表性［2］。1998年，Estrada等人提出了原子鍵連通度（ABC）指標［3］。一個圖G的原子鍵連通度（ABC）指標定義為：

其中，d（u）表示點u在G中的度數。ABC指標在化學熱力學及數學化學中均有廣泛的研究［4］。

定義1 Sierpin＇ski圖S（kn，t）的頂點集是V（S（kn，t））=｛1，2，…，n｝t。｛u，v｝是S（kn，t）的一條邊，當且僅當存在i∈｛1，2，…，t｝使得：

在文獻［9］中，這個結構推廣到了任意圖G，定義為廣義Sierpin＇ski圖，記作S（G，t）。

定義2 廣義Sierpin＇ski圖S（G，t）的頂點集是V（S（G，t））=｛1，2，…，n｝t。｛u，v｝是S（G，t）的一條邊，當且僅當存在i∈｛1，2，…，t｝，使得：

圖1 Sierpin＇ski圖S（K3，3）和廣義Sierpin＇ski圖S（C4，3）

注意到S（G，t）可以由G構造，步驟如下：當t=1時，S（G，1）=G。當t≥2時，首先將S（G，t-1）復制n次，然后在與x相應的那個S（G，t-1）的每個頂點標簽之前添加x，對于G的每一條邊｛x，y｝，在點xyy…y和yxx…x之間添加一條邊。標號為xx…x的點稱為極點。對于任意n階圖G以及任意整數t≥2，S（G，t）有n個極點。若點x在G中的度數為d（x），則極點xx…x在S（G，t）中的度數也為d（x）。S（G，t）中的兩點xyy…y和yxx…x連接S（G，t-1）的兩個拷貝，故它們的度數分別為d（x）+1和d（y）+1。

圖2 聚合物Sierpin＇ski圖P（K2，3）

用Pn表示階為n的路。在文獻［10，11，2003-2005］中，介紹了構造P（Kn，t）的方法。對于n階連通圖G，文獻［12，2015，145-160］中給出了聚合物Sierpin＇ski圖P（G，t）的如下定義。

定義3 對任意i∈｛1，2，…，t｝，定義集合Ai=｛ai1，ai2，…，aini-1｝。記S（G，i）=（Vi，Ei），其中Vi=｛vi1，vi2，…，vini｝。則廣義Sierpin＇ski圖P（G，t）的點集和邊集分別為：

注意到，P（G，t）可以由如下步驟構造：當t=1時，P（G，1）是由a11連接S（G，1）的一個拷貝的每個頂點構成的。當t=2時，為了得到P（G，2），需要運用P（G，1），A2，S（G，2）；……