高階變形的N ovikov方程弱解的全局存在性

王祥

（西北大學數學學院，陜西 西安 710127）

高階變形的N ovikov方程弱解的全局存在性

王祥

（西北大學數學學院，陜西 西安 710127）

研究了一類高階變形的 Novikov方程全局弱解的存在性，在初值滿足條件u0∈H2,p,p>4時，通過黏性逼近的方法得到了高階變形Novikov方程全局弱解的存在性.

高階；Novikov方程；全局弱解

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2015.02.008

1 引言

2009年，Novikov通過對稱的方法在文獻［1］中得到了一系列方程，它們可以看作是階數分別為2，3，5的可積擬線性標量發展方程的反向流.其中，如下立方階非線性方程

稱為Novikov方程.

Novikov方程已有很多研究［1-4］，考慮到實際的物理背景，位勢 m有著各種復雜的卷積形式，同時受文獻 ［5］的啟發，本文對 m作高階替換.令 m=u??u+?u，對此時的高階變形的 Novikov方程展開研究.討論了此時方程的適定性問題，得到了方程弱解 u在C（［0,∞）,C1（R））∩L∞（［0,∞）,H2（R））中的全局存在性.

本文整體框架如下：第二章主要引入基本知識，介紹方程并敘述主要結果；第三章建立黏性逼近方程組得到其解的全局存在性并得到相應的能量估計；第四、五章主要建立核心的一致有界估計，并對原方程組進行逼近，同時得到相應的弱解存在性.

2 預備知識及主要結論

其中G具有Fourier變換形式：

且 G>0,∥G∥W3,1（R）6 C0,∥G∥W3,∞（R）6 C0，C0為給定常數.記 m=A（u）,高階變形的Novikov方程為：

其等價形式為：

考慮Cauchy問題：

定義2.1 函數u：［0,∞）×R→R，稱為問題（3）的弱解，如果u滿足條件：（1）u∈C（［0,∞）,C1（R））∩L∞（［0,∞）,H2（R））；

（2）u在分布意義下滿足Cauchy問題（3）；

（3）u（0,x）=u0（x），對每一個x∈R成立；

（4）∥u（t,·）∥6∥u0（x）∥H2（R），對每一個t>0成立.

定理2.1 設u0∈H2，p（R）,p>4，Cauchy問題（3）存在全局弱解

進一步有，?T＞0，H3（R）和H2，p是在方程（3）作用下的不變空間，即

3 黏性逼近：全局存在性和能量估計

應用奇性擾動的方法建立方程（3）的黏性逼近方程，設0＜ε＜1，u0ε為u0在H2（R）中的光滑逼近，且滿足：

考慮如下逼近方程組：

稱方程組（7）的解uε=uε（t,x）是方程組（3）的解u=u（t,x）的黏性逼近.

引理3.1 設u0ε∈Hk（R）,k>2，則對ε＞0，問題（7）存在唯一的全局解

證明同文獻［6］中引理2.1，這里略去.

引理3.2（能量估計）設u0ε∈H2（R），條件（6）成立，則有

且有

證明 對給定的t＞0，方程組（7）的第一個方程兩邊同乘A（uε）后關于x積分，得

（10）式左邊為

（10）式右邊為

從而得到

對（11）式在［0,t］上積分即得（8）式，由Sobolev不等式以及（6）式、（8）式可得（9）式成立.

4 Pε有關的有界估計

為方便起見，用C代表廣義常數，且引入如下記號：

且有

引理4.1 設（6）式成立，則有

結合（6）式、引理3.2、Fubini定理以及H¨older不等式，可得

證明 對i=1,2,3,4,σ∈｛0,∞｝，根據卷積的性質，有

由（18）式，即得（12）式.同（18）式，對i=0,1,2,3,σ∈｛0,∞｝，有

由（19）式，即得（13）式.對i=0,1,2,σ∈｛0,∞｝，有

由（20）式，即得（14）式.又根據算子A與其卷積形式的關系，有

從而同（18）式，有

對i=0,1,σ∈｛0,∞｝，有

同（18）式，有

顯然由（24）式、（22）式分別得（15）式、（16）式.

引理4.2 設s>2，且（6）式成立，則?t>0,ε＞0，有

證明 對方程組（7）的第一個方程兩邊關于x求兩階偏導數，得

此后將沿用以下記號：

從而有

方程（27）兩邊同乘sqε|qε|s-2，得

（28）式關于x分部積分，有

由H¨older不等式，化簡得

又由引理3.2、引理4.1及H¨older不等式，有

結合（30）式-（31）式，由Gronwall不等式得

為敘述方便，對（32）式兩邊同時s次方后在［0,T］上關于t積分，進一步有

引理4.3 設（6）式成立，則?t＞0,0＜ε＜1，有

其中C2=C（1+C0）（∥u0∥3H2（R）+1）.

證明 對方程組（7）的第一個方程兩邊同時求L2-范數，根據引理3.2、引理4.1及H¨older不等式，有

進一步，對方程組（7）第一個方程兩邊關于x求偏導，有

根據引理3.2、引理4.1以及H¨older不等式，有

即得（34）式和（35）式.

引理4.4 設（6）式成立，則有

證明 經簡單計算，有

將（27）式代入，得

由引理3.2，引理4.1-引理4.3以及（33）式、（42）式-（43）式并應用H¨older不等式，可得

同理，得

綜上由（44）式-（46）式可得（39）式-（41）式.

引理4.5 設（6）式成立，則有

證明 對方程組（7）的第一個方程兩邊關于x求三階偏導數，得

應用H¨older不等式，并結合引理3.2以及引理4.1，得

結合（33）式和（6）式，對上式應用Gronwall不等式，即得（47）式.

5 弱解的存在性

且有

（i）對每一個T，uεj在H1（［0,T］；H1（R））中弱收斂，uεj?u；

（iv）uεj,?xuεj在［0,∞）×R上分別一致收斂于u,?xu.

證明 由引理3.2，引理4.3，得

4.4，得

引理5.2 設u0∈H2，p（R）,p>4，且（6）式成立，則存在函數

更進一步，有

且滿足

分布意義下在［0,∞）×R成立.

證明 由引理3.1，引理4.2，即可得到（50）式；由序列的Jensen不等式得（51）式；對（27）式兩邊同乘以2qε，可得

由引理5.1中的（i）-（iii）以及（50）式，得（52）式.

同文獻［6］中命題4.3，通過相同的方法可以得到下面結論：

引理5.3 設4 6 p＜∞，u0∈H2，p，則有

在分布意義下于［0,∞）×R上成立.

對每一個T，滿足：

（1）對每一個T，在L∞（［0,T］；H2（R））中，uεj→u；（2）u是Cauchy問題（3）的弱解.

證明 由（52）式和（54）式相減，得

分布意義下在［0,∞）×R成立.同文獻［8］中引理6.1，可得

結合（56）式，對（55）式兩邊關于x在R上積分并應用Gronwall不等式，得

定理 2.1的證明 由引理5.4，引理5.1，引理3.1以及引理3.2，即得定義2.1所述弱解存在性，由引理4.2，引理4.5以及引理5.4，直接得到其不變性質（4）（5）.

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［7］Simon J.Com pact sets in the space Lp（0，T；B）［J］.Ann.Mat.Pure.App l.，1987，146（4）：65-96.

［8］Coclite G M，Holden H，Karlsen K H.G lobal weak solutions to a generalized hyperelastic-rod wave equation［J］.SIAM J.Math.Anal.，2005，37（4）：1044-1069.

2010 M SC：16Y 60

G lobal weak solu tion to the high-order N ovikov equation

Wang Xiang
（College of M athem atics，Northwest University，X i′an 710127，China）

The existence of globalweak solution to the high-order Novikov equation is investigated.Provided that initial value u0∈H2,p，p>4，the lim it of viscous approxim ations for the equation is used to establish the existence of globalweak solution.

high-order，Novikov equation，globalweak solution

O 175.2

A

1008-5513（2015）02-0171-11

2014-12-17.

國家自然科學基金（11331005）.

王祥（1990-），碩士生，研究方向：偏微分方程.