一類非牛頓流弱解的擾動

王玉欣，方莉

（西北大學數學學院，陜西 西安 710127）

一類非牛頓流弱解的擾動

王玉欣，方莉

（西北大學數學學院，陜西 西安 710127）

主要研究一類可壓縮粘性非牛頓流方程弱解的擾動性質.在已知弱解存在的基礎上，證明了選取適當范數時，沿著給定的時間序列，密度和速率的擾動趨于零.

擾動；非牛頓流；非真空

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2015.02.010

1 引言

本文考慮具有如下形式的非牛頓流：

滿足初邊值條件：

其中

ρ,u分別是未知密度和速率，d是空間維數，p>3，v>0，γ＞d/2，并且p＞d.I是單位矩陣.設f∈（L∞（QT））d，ρ0∈L1（?），在集合｛ρ0=0｝上定義m0=0且m0∈（L1（?））d.在圓柱區域QT=?×（0,T）考慮（1）式，其中?是Rd（d>3）中的Lipschitz區域.

眾所周知，可壓流體運動可以用Navier-Stokes方程表述，即

其中Γ表示粘性壓力張量，且

Eij（?u）是應變率，且

如果壓力張量和應變率是線性關系，則這樣的流體稱為牛頓流.反之，則稱為非牛頓流.

當初始密度非負時，牛頓流 （p=2）強解的存在性已得到證明.例如：文獻 ［1］證明了若p=p（·）∈C2［0,∞）,ρ0∈H2（?）,u0∈H2（?）∩H（?）且滿足相容性條件：

其中?是有界區域，g∈L2（?），則初值問題存在唯一局部強解（ρ,u）.當?是有界區域或全空間且初值滿足一定的相容性條件時，文獻［2］中得到了類似的存在性結果.

對于初始含真空的非牛頓流，文獻［3］證明了在一維有界區域上，初值滿足一定相容性條件時，一類非牛頓流體方程存在局部強解.文獻［4］中證明了一類非牛頓流體全局解的存在性.更多的結論可以參考文獻［5-8］.

此外，文獻［8-11］獲得可壓縮非牛頓流在測度意義下解的存在性.

本文研究了一類可壓非牛頓弱解的擾動問題，文獻［11］在已知一類可壓縮非牛頓流體方程弱解存在基礎上，研究了弱解的擾動，并證明了速率與密度的擾動在一定范數條件下趨于零.

首先給出弱解的定義和存在性結論.

定義 1.1［12］若（ρ,u）滿足：

且在QT中，（1）式在分布意義下成立，則稱 （ρ,u）是初邊值問題 （1）-問題 （2）的弱解，且在L1（?）中，

及能量等式

由（1）式的第一個式子，根據特征值法，得

從而

此外，（7）式蘊含

即

易知

設外力f只依賴時間且具有足夠正則性，f=（f1,f2,···,fd）,

定義流體剩余率（ρ,w）滿足，在?中，

由（6）式的第二式，得到ρ的表達式：

其中c為任意常數.由ξ（x）∈W1，∞（?）可知ρ∈W1，∞（?）.

定義σ,u如下：

在文獻［12］已知問題（1）弱解的存在性基礎上，本文主要結論如下：

且存在序列｛tn｝，使得當tn→+∞時，

其中C?是只依賴?和維數d的常數.

此外，定義

2 預備知識

下面給出證明定理1.1必需的兩個引理，首先考慮如下問題：

由（1）式和（11）式的第二個式子可得，

注意到

對（20）式第二個式子兩邊同乘以u，在?上積分，得

考慮（21）式，

那么

其中

應用函數f（x）=xγ在P點的Taylor展開，

能量泛函關于時間求導，

令

則（24）式可改寫為：

且

如果t16 t2,

則存在序列｛tn｝滿足，當tn→0時，

事實上，假設當tn→0時，有Fu（tn）→π.?ε＞0（?ε+π＞0），?t0,當tn＞t0時，

即

于是

推出矛盾！故

綜上所述，可以得到能量泛函E（t）是有關時間的單調遞減函數，且當tn→∞時，∥u∥W1,p→0.

3 引理 2.2的證明

所以

進而有

類似的，

將（35）式和（36）式相加得，

以下對（37）式右端進行估計：

注意到，

故

根據以上估計，有

其中C?＞0是依賴?,q和維數d的常數.

進而

4 定理 1.1的證明

由（39）式可知，

有

因為，當tn→∞時，有Fu（tn）→0.所以?t0＞0，當t＞t0時，有Fu2（t）＜Fu（t）,從而

故

［1］Salvi R，Straskraba I.G lobal Existence for viscous com pressible fuids and their behaviors as t→∞［J］.J. Fac.Sci.Univ.Tokyo Sect.IA M ath.，1993，40：17-51.

［2］Cho Y，Choe H J，H K im.Unique solvability of the initial boundary value problem s for com p ressible fuids［J］.J.M ath.Pures App l.，2004，83：243-275.

［3］Yuan H，Li H.Existence and uniqueness of solutions for a class of non-New tonian f uids w ith vacuum and dam ping［J］.J.M ath.Anal.App l.，2012，391：223-239.

［4］Yin L，Xu X，Yuan H.G lobal existence and uniqueness of solution of the initial boundary value p roblem for a class of non-New tonian fuids w ith vacuum［J］.Z.Angew.M ath.Phys.，2008，59：457-474.

［5］Yuan H，W ang C.Unique solvability for a classof fu llnon-New tionian fuidsofone dim ension w ith vacuum［J］. Z.Angew.M ath.Phys.，2009，60：868-898.

［6］Wang C，Yuan H.G lobalstrong solutions for a classofheat-conducting non-New tonian f uidsw ith vacuum［J］. Non linear Anal.RealWorld App l.，2010，11：3680-3703.

［7］W ang C，Yuan H.G lobal strong solutions for a class of com p ressible non-New tonian fuidsw ith vacuum［J］. Math.Models Methods App l.Sci.，2011，34：397-417.

［12］Zhikov V V，Pastukhova SE.On the Solvability of the Navier-Stokesaligns for Com p ressible Non-New tonian Fluid［J］.Doklady M athem atics，1999，80：511-515.

［13］Bogovskij M E.Solution of some prob lem s from vector analysis connected w ith operator div and grad［J］. Trudy Sem.S.L.Soboleva，1980，1：5-41.

［15］Mamontov A E.G lobal solvability of themu ltidimensional Navier-Stokes aligns of a com pressib le fuid w ith nonlinear viscosity II［J］.Sib.M ath.J.，1999，40：351-362.

2010 M SC：35A 25

Pertu rbations of w eak solu tions for a class of non-N ew ton ian f u ids

Wang Yuxin，Fang Li

（College of M athem atics，Northwest University，X i′an 710127，China）

We m ainly study a com p ressible non-new tonian fuid align in this paper.The existence of a compressib le non-new tonian f uid align has been proved.We proved that the perturbations of density and velocity tend to zero in approp riate norm s along a chosen tim e sequence.

perturbation，non-New tonian fuid，w ithout vacuum

O 175.2

A

1008-5513（2015）02-0194-10

2014-11-01

陜西省科技計劃項目（2012JQ020）.

王玉欣（1990-），碩士，研究方向：偏微分方程.