混合邊界下開弧外區域聲波散射問題的數值解法

李妮，王連堂

（西北大學數學學院，陜西 西安 710127）

混合邊界下開弧外區域聲波散射問題的數值解法

李妮，王連堂

（西北大學數學學院，陜西 西安 710127）

關于時間調和聲波在一個無限長圓柱形導體上的散射，可以轉化為R2中一段光滑開弧上的散射問題.利用單雙層位勢來逼近散射波，通過單雙層位勢在開弧兩側的跳躍關系建立了混合邊界的積分方程組，然后對此方程組進行參數化和離散化，最終得到離散化后的積分方程組.此邊界積分方程組的解是存在唯一的.

開弧；混合邊界；積分方程組

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2015.02.007

1 引言

關于時間調和的聲波在一個無限長圓柱形導體上的散射問題（此圓柱形導體的截面為一段開區域），可以歸結為R2中一段開弧上的散射問題.對于此類問題的研究不是特別多.開弧上的正、反散射問題最早是由K ress在1995年開始研究的，在文獻［1］中K ress考慮了一段兩邊均滿足Dirichlet邊界條件下開弧上的正反散射問題.1997年，文獻［2］對同樣的散射問題考慮了開弧兩邊均滿足Neumann邊界的情況.2011年，文獻［3］對具有混合邊界的開弧問題解的存在性和唯一性進行了證明.本文對一段開弧的兩側分別滿足Dirichelt和Neumann邊界條件下開弧散射問題進行研究，將開弧上的時間調和聲波的散射問題轉化為如下的Helmholtz方程混合邊值問題.假設Γ?R2是光滑開弧，它可以參數化表示為：

Z：［?1,1］→R2是單射且是二次連續可微函數.開弧的兩個端點分別為：

以及混合邊界條件

全場u=ui+us，入射波ui=eikx·d，未知散射波us滿足Sommerfeld輻射條件：

其中

文獻［4］中已經證明了問題（1）-問題（3）至多只有一個解.

為了后續研究，本文把開弧Γ擴展成任意一個按段光滑的簡單閉曲線?D，它所包圍的有界區域記為D，這樣Γ上的單位法向量就與邊界?D上的單位法向量重合.本文采用單雙層混合位勢逼近散射波，利用單雙層位勢的跳躍關系導出邊界積分方程組，然后對該方程組進行參數化和離散化.

2 數值求解方法

2.1 邊界積分方程組

利用單雙層混合位勢

逼近散射波，其中

這里

2.2 積分方程組的參數化

假設Γ可以用參數方程表示為：

則邊界積分方程組可以表示為如下參數方程形式：

其中

特別當t=τ時，

C是歐拉常數.令t=cos（s）,τ=cos（σ），并且給第一個方程乘以sin（s）|z′（cos（s））|，根據恒等式

積分方程組變成

2.3 積分方程組的離散化

數值求解方程組（6），選取等距節點

根據如下積分公式：

積分方程組離散化的方程組為：

其中

根據遠程模式與散射場的對應關系：

以及利用Hankel函數的漸進性得：

其所對應的參數方程形式為：

這樣把用（7）式解出來的ψ1（τ）,ψ2（τ）代入到上式就可以得到給定的邊界所對應的遠場模式.

［1］K ress R.Inverse scattering from an open arc［J］.M ath.M ethods App l.Sci.，1995，18（26）：267-293.

［2］M onch L.On the inverse acoustic scattering p roblem by an open arc：on the sound-hard case［J］.Inverse Problem s，1997，17（13）：1379-1392.

［3］梁國政.具有混合裂縫散射問題的邊界積分方程方法［J］.數學物理學報：A輯，2011，31（5）：1167-1175.

［4］Cloton D，K ress R.Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory［J］.Inverse Prob lem s，2003，47（15）：68-109.

［5］Cloton D，K ress R.Intergral Equation Methods in Scattering Theory［M］.New York：W iley Springer Verlag，1993.

2010 M SC：35B32

The num erical solu tion ofm ixed borders acoustic scattering p rob lem s on open arc area

Li Ni，Wang Liantang
（College of Mathematics，Northwest University，Xi′an 710127，China）

The acoustic scattering on an in fnitely long cylind rical conductor can be converted tom ixed bound ry value problem of Helm holtz functions for som e sm ooth open the arc.In this paper，using a single double-potential to approxim ate scattering waves and according to potential theory and jum p relations we establish the m ixed boundary integral equations.Then this system of equations is discreted and parametered.The existence and uniqueness of solution to the boundary integral equations can be proved.

open arc，m ixed boundary，integral equations

O175.23

A

1008-5513（2015）02-0164-07

2014-05-17.

國家自然科學基金（11401144）.

李妮（1987-），碩士生，研究方向：數學物理方程.