一些特殊函數(shù)的完全單調(diào)性

元志芳，王連堂

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710127）

一些特殊函數(shù)的完全單調(diào)性

元志芳，王連堂

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710127）

歐拉Gamma函數(shù)是一種非常重要的函數(shù)，在數(shù)學(xué)的許多分支以及物理、工程等學(xué)科中都有著十分重要的作用.而完全單調(diào)性以及對數(shù)完全單調(diào)性是Gamma函數(shù)的重要性質(zhì).主要證明了一些包含Gamma函數(shù)和Psi函數(shù)在內(nèi)的特殊函數(shù)的完全單調(diào)性和對數(shù)完全單調(diào)性，并由此推出了一些重要的不等式.

完全單調(diào)性；對數(shù)完全單調(diào)性；Gamma函數(shù)；Psi函數(shù)；充分必要條件

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2015.02.003

1 引言

函數(shù)f被稱作是區(qū)間I上的完全單調(diào)函數(shù)，如果f在區(qū)間I上的各階導(dǎo)數(shù)都存在，且滿足

如果此不等式嚴(yán)格大于零，則稱函數(shù)f在區(qū)間I上是嚴(yán)格完全單調(diào)的［1］.

正函數(shù)f被稱作是區(qū)間I上的對數(shù)完全單調(diào)函數(shù)，如果它的對數(shù)ln f滿足

如果此不等式嚴(yán)格大于零，則稱f在I上是嚴(yán)格對數(shù)完全單調(diào)的［2］.

區(qū)間I上的對數(shù)完全單調(diào)函數(shù)，也是區(qū)間I上的完全單調(diào)函數(shù)［3］.

著名的歐拉Gamma函數(shù)的定義為：

2 引理

為了證明本文的主要結(jié)論，先給出下面的引理.

引理 2.1［5-6］對任意的正整數(shù)n和正實數(shù)x，下列結(jié)論成立：

引理 2.2［6］當(dāng)x→∞時，下列結(jié)論成立：

3 主要結(jié)論及證明

文獻(xiàn)［7］中，提出函數(shù)

證明 由引理2.1，得

其中p（t）=（αt+1）et?（αt+t+1）（t≥0）.通過計算得

所以當(dāng)α≥0時，函數(shù)fα（x）在區(qū)間（0,∞）上是完全單調(diào)函數(shù).

同理，由引理2.1得

其中p（t）是前文定義過的函數(shù).

為對數(shù)完全單調(diào)函數(shù).

證明 函數(shù)gβ（x）的對數(shù)函數(shù)為：

由引理2.1，通過簡單計算得

其中q（t）=（1?βt）et+（βt?t?1）（t＞0），對其求導(dǎo)數(shù)得

時，函數(shù)gβ（x）在區(qū)間（0,∞）上是對數(shù)完全單調(diào)函數(shù).

若函數(shù)gβ（x）在區(qū)間（0,∞）上是對數(shù)完全單調(diào)的，則

推論3.1 對任意的正整數(shù)n，雙向不等式

成立.

由不等式

整理即可得推論3.1的結(jié)論.

文獻(xiàn)［8］中提出函數(shù)

是區(qū)間（?γ,∞）上的完全單調(diào)函數(shù).

證明 函數(shù)hγ（x）的對數(shù)函數(shù)為：

由引理2.1通過簡單計算得

令

若函數(shù)hγ（x）在區(qū)間（?γ,∞）上是對數(shù)完全單調(diào)的，則［ln hγ（x）］′≤0,即

從而γ≤eψ（x+1）?x,由文獻(xiàn)［9］中的不等式

得

再利用洛必達(dá)法則可計算得，

證明 由引理2.1得，

且F（0）=F′（0）=F′（0）=0.因為

所以

從而函數(shù)F′（t）在區(qū)間（0,∞）上單調(diào)遞增，故F′（t）≥F′（0）=0.所以F′（t）在區(qū)間（0,∞）上也單調(diào)遞增，從而有F′（t）≥F′（0）=0.進(jìn)一步可得，函數(shù)F（t）在區(qū)間（0,∞）上也單調(diào)遞增，所以F（t）≥F（0）=0，從而

且

4 結(jié)束語

Gamma函數(shù)和Psi函數(shù)的完全單調(diào)性對一些重要不等式的證明、加強(qiáng)與推廣有十分重要的作用.近年來，國內(nèi)外許多著名的學(xué)者都在從事這方面的研究，對Gamma函數(shù)和Psi函數(shù)完全單調(diào)性的研究已成為數(shù)學(xué)知識的新增點.

［1］M itrinovic D S，Pecaric J E，F(xiàn)ink A M.Classical and New Inequalities in Analysis［M］.London：K luwer Academ ic Publishers，1993.

［2］Qi F，Guo B N.Com p lete m onotonicities of functions involving the gamm a and digamm a functions［J］. Rgm ia Res.Rep.，2004，7（1）：63-72.

［3］Qi F，Chen C P.A com p lete m onotonicity property of the gamm a function［J］.Journal of M athem atical Analysis and App lications，2004，296（2）：603-607.

［4］Abram ow itz M，Stegun IA.Handbook ofM athem atical Functionsw ith Formu las，G raphs and M athem atical Tables，National Bureau of Standards［M］.Washington：U.S.Government Printing O f ce，1964.

［5］G radshteyn I S，Ryzhik IM.Table of Integrals，Series and Products［M］.6th ed.New York：Academ ic Press，2000.

［6］M agnusW，Oberhettinger F，Soni R P.Formu las and Theorem s for the Special Functions of M athem atical Physics［M］.Berlin：Sp ringe-Verlag，1966.

［7］Chen C P.Som e properties of functions related to the gamm a，psiand tetragamm a functions［J］.Com puters and M athem atics w ith App lications，2011，62：3389-3395.

［8］Qi F.Integral representations and com p letem onotonicity related to the rem ainder of Burnside′s formula for the Gamm a function［J］.Com putational and App lied M athem atics，2014，135（6）：377-427.

［9］Qi F，Cui R Q，Chen C P，et al.Some com p letely monotonic functions involving polygamma functions and app lication［J］.Journal of M athem atical Analysis and App lications，2005，310：303-308.

2010 M SC：33B15

Com p lete m onoton icity of som e specif c functions

Yuan Zhifang，Wang Liantang
（College of M athem atics，Northwest University，X i′an 710127，China）

The classical Euler gamm a function is one of the m ost im portant special functions and hasm any extensive app lications in many branches，for exam p le，statistics，physics，engineering and so on.The comp lete m onotonicity p lay a central role in studying the special functions.In this paper，som e com p letem onotonicity and logarithm ically com p lete m onotonicity of som e functions involving gamm a functions is p roved and som e suf cient and necessary conditions for some special functions to be com p letely monotonic or logarithm ically com p letely m onotonic are proposed.

com p letem onotonicity，logarithm ically com p letely m onotonicity，gamm a function，Psi function，suf cient and necessary conditions

O 174.6

A

1008-5513（2015）02-0129-07

2014-11-17.

陜西省自然科學(xué)基金（2010JM 1017）.

元志芳（1988-），碩士生，研究方向：特殊函數(shù)論.