一個趨化性模型非常數平衡解的存在性

徐茜，崔菊連，戈西元

（北京聯合大學基礎部，北京 100101）

一個趨化性模型非常數平衡解的存在性

徐茜，崔菊連，戈西元

（北京聯合大學基礎部，北京 100101）

對帶兩個趨化性參數的趨化性模型平衡解的存在性問題進行研究.在參數滿足特定的條件下，應用局部分岔理論得到非常數平衡解的局部分岔結構，從而證明了該趨化性模型存在無窮多個非常數正平衡解.

趨化性模型；平衡解；局部分岔

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2015.02.002

1 引言

趨化性是指細胞的隨機擴散，運動性和趨化性不僅僅影響細胞的分布而且影響細胞的增長率.文獻［1］提出了一個帶兩個化學物質的趨化性模型：

其中w是細胞的濃度，u,v為化學物質濃度，χ1,χ2表示趨化（敏感度）參數，Dw,Du和Dv分別是細胞和化學物質的隨機擴散率；f（u,v）和g（u,v）代表化學物質的產生和消耗.當

時，文獻［2］研究了方程組（1）關于時間整體解的一致有界性.近年來，帶一個趨化參數的趨化性模型，得到眾多學者的廣泛研究，并取得了豐富的研究成果.比如非常數平衡解的整體分岔結構、分岔解的局部漸近穩定性、解的整體存在性等［3-6］.

基于方程組（1），本文研究以下趨化性模型：

目前對于帶兩個趨化參數的趨化性模型，現有的研究結果還比較少，因此研究方程組（2）的非常數平衡解的存在性具有一定的理論意義.本文將證明當方程組（2）的參數在一定的條件下，對于任意給定的常數平衡解（w?,u?,v?），以χ1作為分岔參數，方程組（2）存在無窮多個非常數正平衡解.

2 平衡解的局部分岔

本文主要考慮方程組（2）在一維空間的平衡解問題，即下列方程組：

由方程組（3）的第一個方程及邊界條件知，w的總體數量是守恒的，即

定義 u?=v?=w?，則易知 （w?,u?,v?）是方程組 （3）的一個常數平衡解.本節將應用局部分叉理論［7］證明對于任意給定的 w?＞0，當 χ1在適當范圍內取值時，方程組 （3）有從（w?,u?,v?）分岔出來的無窮多個非常數的正平衡解.

令

定義映射G：X×X×X×R→Y0×Y×Y×R為：

易知G（w?,u?,v?,χ1）=0，從而方程組（3）等價于G（w,u,v,χ1）=0.對任意固定的

其Frechet導數為：

引理2.1 對任意固定的（w1,u1,v1）∈X×X×X，

是一個指標為零的Fredholm算子.

證明 D（w，u，v）G（w1,u1,v1,χ1）（w,u,v）=G1（w,u,v）+G2（w,u,v），其中

定義為：

G2：X×X×X→Y0×Y×Y×R定義為：顯然G2：X×X×X→Y0×Y×Y×R是線性的且緊的.由文獻［8］中的注2.5情況3可知，G1是橢圓的并且滿足 Agmon條件.因此由文獻 ［8］中的定理 3.3及評注 3.4可知，G1：X×X×X→Y0×Y×Y×｛0｝是一個指標為零的Fredholm算子，因此

其中R（G1）是算子G1的值域，W 是Y×Y×Y×｛0｝的一個閉的子空間滿足

其中N（G1）是算子G1的核空間.因此，可得到

因為G1（w,u,v）的第一部分在Y0中，可推知

因為W=W0⊕span｛（1,0,0,0）｝，并且dim W=dim W0+1，R（G1）在Y0×Y×Y×R中的余維數等于dim W=dim N（G1）.因此G1：X×X×X→Y0×Y×Y×R是指標為零的Fredholm算子.由緊擾動不改變算子的Fredholm性及算子的Fredholm指標，以及算子G2是緊算子，可證明D（w，u，v）G（w1,u1,v1,χ1）：X×X×X→Y0×Y×Y×R是指標為零的Fredholm算子.

顯然，對所有的χ1∈R，（w?,u?,v?）是方程組（3）的常數平衡解.方程組（3）在（w?,u?,v?）處分岔的必要條件是

易知核空間由滿足下面的方程組的解組成：

令

把（5）式代入（4）式，可得

和

其中

令

把（10）式代入（9）式，可得

經過計算可得

所以方程組（11）無解，矛盾.

3 結論

由引理2.1，（8）式，引理2.2及文獻［7］中的定理1.7可知如下定理成立.

時，存在區間（?δ,δ）和連續函數使得

注3.1（w1（s,x）,u1（s,x）,v1（s,x））是（3）的單調解；當k≥2時，（wk（s,x）,uk（s,x）,vk（s,x））是非單調的.

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2010 M SC：35B32

The ex istence o f non-constan t steady states of a chem otaxism odel

Xu Qian，Cui Julian，Ge Xiyuan
（Department of basic courses，Beijing Union University，Beijing 100101，China）

The existence of non-constant steady states of a chem otaxism odel w ith two chem icals is studied. The local bifurcation structure of the non-constant steady states are obtained by local bifurcation theory when the parameters satisfy some certain conditions.Thus it is proved that there exist many non-constant positive steady states of this chem otaxism odel.

chem otaxism odel，steady state，local bifurcation

O175.2

A

1008-5513（2015）02-0122-07

2014-09-08.

國家自然科學基金（11471221）；北京市自然科學基金（1132003）；北京市教委科技計劃項目（KZ201310028030）.

徐茜（1982-），博士，講師，研究方向：反應擴散方程.