高校圖論課程的教學方法與模式

楊健

【摘要】本文分析了在高校開展圖論教學的重要意義，指出現階段圖論教學中普遍存在的一些不足之處，并從教學內容、教學任務、教學形式等方面進行分析，探討了圖論的教學方法和教學模式。

【關鍵詞】圖論 組合數學 教學方法

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）08-0178-02

一、前言

在計算機科學和互聯網技術的推動下，近幾十年里圖論取得了一系列發展成果。如今，圖論的理論和方法越來越受到各行各業的廣泛關注，它已逐漸成為解決工程、信息、交通、經濟等各領域實際問題的重要工具之一。但不容忽視的是，在國內的許多高等院校，圖論這門課程卻沒有因此得到足夠的重視，在高校開設圖論課程的專業很少。另外，在圖論教學上也存在課時有限，教學方法單一，重理論輕應用，學生的學習積極性不高等問題，針對這些問題，本文深入分析圖論開展的必要性及其重要意義，并對圖論的教學改革，作了詳盡的探討和分析，提出幾點教學思路和方法。

二、圖論教學的重要意義

1.有利于提高學生的數學素養

相對于數學領域的其他課程，圖論具有其鮮明的特點，體現在圖論概念抽象深奧、研究對象結構復雜、邏輯推理嚴密、證明技巧性強，大多問題本身雖然樸素易懂，可是求解方法經常難以想到。正因此，圖論理論的建立往往蘊含著巧妙的構造、創新的思維以及嚴密的邏輯推導。通過圖論的學習，學生可以深刻地體會到人類思維的深邃廣袤，領略豐富多樣的數學證明方法，見識巧妙精細的圖形構造，并有意識性地去掌握這些證明方法、構造技巧和思維方式，從而培養自己的數學邏輯思維能力和創造能力，進一步提高自己的數學素養和數學悟性。

2.有助于提高分析問題和解決問題的能力

圖論是一門產生于實際且服務于實際的課程。特別是進入二十世紀以后，由于計算機科學技術的迅速發展，使得圖論中許多復雜問題的求解成為可能，而在生產活動中所出現的其他領域的許多大規模問題又都可以轉化成圖論問題，因此，圖論在實際生活當中的應用變得越來越廣泛，例如信息傳輸問題、交通網絡問題等等。學生在學習圖論過程中，可以結合現實生活中的問題，分析如何將其轉化成圖論問題，并設計算法加以解決，以提高自己利用理論知識解決實際問題的能力。

3.有助于提高學生的算法設計和實現能力

圖論中很重要的一部分內容，就是其中的經典問題及其有效算法，例如最短路問題的Dijsktra算法，最小生成樹的Kruskal算法和Prim算法，二部圖最大匹配的匈牙利算法，最大流的標號算法等等。在教學過程中，要求學生深刻理解這些基本算法，并嘗試去編寫算法的程序代碼。同時，在此基礎上，也可以適當地提出一些派生問題，啟發學生學習如何設計算法，比如在學習最小生成樹的算法時，可以要求學生設計求最小森林的算法。在現實生活中，解決其它實際問題的算法往往是以這些基本算法作為子算法，或在此基礎上進行適當修改而成的。因此，通過圖論的學習，可以提高學生對算法的理解和設計能力，強化程序代碼的編寫能力。

三、圖論的教學方法探析

1.基本理論與實例相結合，準確把握理論的涵義

概念豐富難懂，理論抽象深奧，是圖論的一大突出特點，學生常常因此望而生畏。要學好圖論，必須首先要準確深刻地理解圖論的基本理論。為了讓學生做到這一點，在教學時，應堅持理論與實例相結合。講解概念時，應首先讓學生掌握概念的本質涵義，然后通過一些具體的圖，讓學生直觀上就能準確理解概念。例如，若連通圖 的頂子集 使得 不連通，則稱 是 的點截集，僅僅掌握這個定義遠不能深刻理解點截集的涵義，應通過圖示的方法進一步說明，若 是 的點截集， 是 的所有連通分支，則當 時， 與 無邊相連，而每個 與 之間必有邊相連；倘若 是 的最小點截集，則抓住極小性，可知 中的每一頂點在每 個中必有鄰點。

2.注重啟發式教學，提高學生的主動性

由于圖論理論抽象，結構復雜，又受到課時的限制，在課堂上，老師難以面面俱到。因此，在教學方式上，應當采用啟發式教學，教師引導學生自覺思考。這一方面可以增加學生的學習興趣，提高主觀能動性，培養學生的自學能力；另一方面讓學生自己深入學習各個知識點，在掌握好這些基本理論后，老師對原教學內容進行加深和拓展，從而進一步開拓學生視野，培養學生的創新思維能力。例如，在學完二部圖求最大匹配的匈牙利算法后，提示學生一般圖中的 -可增廣鏈會出現什么情況，啟發學生思考能否用匈牙利算法求一般圖的最大匹配，然后自然地引出開花算法。通過這種啟發式教學的方式，將學生的思維不斷引向深處，并順理成章地增加教學內容，能使學生更連貫更有條理地掌握圖論知識，學習圖論基本思想，理解圖論的發展規律。

3.課堂講授與上機操作相結合，培養學生實踐操作能力

圖論與實際應用聯系非常緊密，而實際問題的解決依賴于算法的設計和實現，針對圖論的基本問題及其算法，現已開發出一些相應的軟件，如Lingo軟件，Matlab軟件的優化工具箱。在理論教學之余，應適當安排一些上機實驗課，讓學生熟悉這些軟件的操作應用，并能解決一些實際問題。另外，在圖論的教學過程中，還應兼顧培養學生獨立設計算法及編寫算法程序代碼的能力，這既可以加深學生對基本算法的理解，同時也培養了學生分析實際問題和解決實際問題的能力。

4.圖論與數學建模相結合，增加圖論的應用性

傳統的圖論教學中，理論與實際脫離，學生在課堂上掌握了一大堆概念和理論，但是缺乏動手能力。促使學生將學到的知識用到實處，是圖論教學的目的之一。數學建模是將數學知識應用于社會生產中的重要手段，在歷年全國大學生數學建模競賽中，有關圖論的競賽試題曾多次出現，例如1992年B題是求最小生成樹，1994年B題是關于最大獨立頂點集和最小覆蓋等問題。可以說，圖論現已成為解決實際問題的重要工具之一，在圖論教學中將數學建模的思想、方法和技巧滲透其中是十分必要的，這樣既可以激發學生的學習興趣，又能啟發學生自覺思考，培養學生的創新能力。

5. 板書講授與多媒體課件相結合，讓圖論更加直觀形象

由于圖論的內容繁多，結論證明復雜，有時一個定理的證明需要很長的時間，所以在一學期內完成圖論的教學，課時十分有限。圖論的學習，最為重要的就是學習掌握圖論的思維方式。傳統的板書教學費時費力，需要花太多的時間書寫文字，若能夠制作成熟的多媒體課件，配合板書進行教學，不僅減少了老師的板書書寫內容，同時還可以為學生呈現圖論中各種各樣精美絕倫的圖，增強圖論內容的直觀性，讓學生更容易理解。

四、結束語

圖論在國內是一門相對年輕的課程，做好圖論的教學工作任重道遠。總的來說，各個院校各個專業應結合本身實際情況因材施教，以提高學生的數學素養為宗旨，以培養學生的思維能力、創新能力和動手能力為目標，選擇適合的教學方法和模式。

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