利用微分法計算定位誤差的改進研究

馮酉南 胡文港 葉翰堯

摘 要：定位誤差的計算是夾具設計中不可缺少的重要環節。文章將對機械制造工藝學中多元素定位誤差微分法求解時的矛盾進行數學分析。解釋普通微分法的矛盾原因，并且根據高等數學微分法的性質對該算法進行改進。并通過具體實例對改進方法進行驗證。

關鍵詞：定位誤差；微分法調；整加工法

1 概述

在采用調整法加工時，工件的定位誤差實質上就是工序基準在加工尺寸方向上的最大變動量。定位誤差的來源主要有兩方面：1.由于工件定位表面或夾具上的定位元件制作部準確而引起的定位誤差，成為基準位置誤差，常用ΔJW表示。2.由于工件的工序基準與定位基準不重合而引起的定位誤差，稱為基準不重合誤差，常用ΔJB表示[1]。定位誤差的計算時夾具設計中必不可少的重要環節，也是檢驗夾具是否滿足精度要求的必要條件。目前計算定位誤差的方法有三種：定義法、合成法、微分法。三種方法從不同的解題思路來計算定位誤差。所謂定義法是根據定義，直接求工序基準的最大變動量。合成法是根據誤差來源，分別計算出ΔJW和ΔJB，然后求和得出定位誤差定義法和合成法都屬于幾何計算方法，目前已有的定位誤差自動分析軟件大多采用幾何法進行計算。由于尺寸公差遠小于工件基準尺寸，因此可以視此微小變量為其公稱尺寸上的微分。微分法就是尋找不受工件尺寸、加工精度影響的固定點，并使該點與工序尺寸有一定的聯系，這種聯系必須通過工序尺寸上的投影或者平移而同向（工序尺寸方向同向）建立，從而建立工序基準點與固定點之間的線性尺寸關系，通過全微分的方法即可求出該工序定位誤差值[2]

但是普通微分法在多元素定位誤差分析時可能會得出錯誤結論，本文主要闡述多元素定位誤差微分法計算時產生的矛盾，并從高等數學的角度進行解釋，以此為依據提出改進算法，并用實例加以證明。

2 問題提出

有一批環形零件需在內孔加工鍵槽，保證尺寸H和t，對稱度誤差不得大于0.03mm。

3 原因分析

定位誤差的微分計算法是高等數學微分近似計算原理的應用。設函數Y=F（x1，x2，…xn），當自變量x1，x2，…xn分別在x01，x02，…x0n處的變動量1XΔ2XΔ…nXΔ都比較小時，Y的變動量可近似的用全微分表示Σ=Δ..=ΔniiiXXYY10[3]

在數學中，微分是對函數的局部變化的一種線性描述。微分可以近似地描述當函數自變量的變化量取值作足夠小時，函數的值的變化趨勢。即，微分描述的是函數的局部變化規律。以現實中的現象為例子，移在時間上的微分就是速度。我們知道，速度是有方向，有大小的。那么從這里我們可以很清楚的看出，微分具有正負性質。再回歸到多元素定位誤差的求解問題中。全微分的每一單一元素iixxLd..都

只反應元素xi對L變化的影響，而這個變化可正可負。簡言之，當xi增加一個微變量時，L的變化可能是變大，也可能是變小，這個是不確定的。定位誤差即是求Lmax-Lmin，由于x1，x2…xn的變化對ΔL的影響可正可負。[4]比如上邊例子中，當φD增加一個微量尺寸TD時，AC的長度有所減小，但是當φd增加一個微量尺寸Td時，AC的長度卻會有所增加。簡單的進行全微分的求解而不考慮各個元素變化的正負性質，這是矛盾存在的根本原因。

4 改進方法

普通微分法的局限性在于沒有考慮各個元素的正負性質。所以必須對微分公式進行改進。將每個元素的正負性質考慮的情況下，必須保證累加的每一項都是正值。即，每一單一元素 iixxLT..都要加絕對值符號，才可以保證最后得出正確結論。

以此方法來驗證上述例子，便可得到正確的結果：

下邊再用另一實例進行證明。

如圖，有一批如圖所示形狀的工件，尺寸φr和L以及夾具角度α均已得到保證，先序在圖示位置加工一通孔，計算尺寸H的定位誤差。

采用微分法改進法進行計算。工序基準為圓心O，取夾具上頂點A，則AC的表達式為

用改進公式對其進行計算，得到經驗證，計算結果正確。

5 總結

針對普通微分法求解多元素定位誤差出現的矛盾，本文進行了簡要的原因分析，提出了相應的改進方法。通過典型例子的證明驗證了新方法的可行性。

參考文獻

[1]王先逵.機械制造工藝學[M].北京：機械工業出版社，2013.106—107

[2]馬成習.微分法在定位誤差計算中的應用[J].制造技術與機床，2008（4）：130-132

[3]承惠娟，華如.定位誤差的微分計算法[J].煤礦機械，2002（1）：37-38

[4]徐鐵華.定位誤差計算方法探究[J].湖南科技學院學報，2009，30（8）：17-19