一個非線性系統的輸出機動控制初探

苗超 邊艷華

摘 要：在實際工程控制問題中，我們不僅僅要求軌跡控制，很多時候要求過程的動態控制，也就是輸出的機動控制，其比一般的跟蹤問題更具有普遍的意義，本文選取一個非線性系統，依此系統嘗試其輸出機動控制的探究。

關鍵詞：非線性系統；機動控制

在很多的實際工程控制問題中，例如輪船跟蹤航標問題，機器臂的動作控制問題，再比如，一輛自動駕駛的汽車，不僅要使汽車能順利的沿著軌跡行駛，而且使它在合適的時間能夠到達目的地。這種情況實際上是控制問題的兩個任務，第一個任務叫做幾何任務，第二個任務叫做動態任務，一般情況指速度控制。這就是輸出機動控制問題，不僅考慮一般路徑跟蹤，同時也涉及到控制目標的動態行為（即速度）。輸出機動控制要比一般的跟蹤問題更具有普遍的意義，對控制問題的研究也有重大的理論價值和意義。本文選取一個非線性系統，對其輸出機動控制問題進行初探。

1 問題的描述

考慮如下非線性系統：

其中12（，）nnxxxxRΤ=∈.是系統（1）的狀態向量，系統（1）的輸入和輸出則分別由uR∈和yR∈來表示，12（，）pθθθΤΘ=.為p維的未知常參數向量，在控制器的設計過程中，我們需要對它進行估計，（，）iiixxΦ.為已知光滑非線性函數向量。

2 輸出機動控制的探究過程

我們的控制目標是對系統（1）設計光滑自適應機動控制器，從而解決系統（1）的實用輸出機動控制問題。為此我們要完成兩個任務[1]：1、幾何任務；2、動態任務。首先要設定（

）rytθ是理想的參數化參考路徑，（

，）svttθ是理想的跟蹤速度。其中θ是路徑變量。

假設1[1]：參考路徑

iyθ及其n階偏導數在R上一致有界，其速度任務（，）svtθ及其1n.階偏導數關于θ與一致有界。

任務一：機動控制的幾何任務

第一步：引入誤差變量（，，）（，）sstvtωθθθθ=...

令11rzxy=.， 221zxα=.

則11rzxy=....2111

rrssyyzxvαωθθΤ..++ΦΘ.+..

構造Lyapunov函數2111122VzrΤ=+ΘΘ..

其中r為常數，并且0r>，.Θ=Θ.Θ.，.Θ是Θ對的估計

則V的時間導數為

1111.VzzrΤ=.ΘΘ....=12111111.（

）rrssyyzzzxvzrαωθθΤΤ..++ΦΘ.+.ΘΘ....

令虛擬光滑控制律為 21111111.rsyczkzvαμθΤ.=..ΘΦ.+.

取調節函數 111rzτ=Φ 11ryzηθ.=.

那么

211112111111.rsyVczzzzzzrωθΤ∧ΤΤ.=.++ΦΘ.ΘΦ+.ΘΘ....

21112111.

sczzzrτωηΤ≤.++Θ.Θ+..

以此思路，最后一步設計：

我們構造Lyapunov函數 2112nnnVVz.=+

因為 1nnnzxα.=.

所以1nnnzxα.=.... 1nnnnVVzz.=+...

取光滑控制律為：

11111111111.

.nnnnnnnnnnnjjsnjjjjuczzxvxxtααααατθ..Τ......+==.....=...ΘΦ.ΣΦ+Σ+++.....Θ

111112

.nnjnnjjjjjrzxαα....==..+Φ.ΣΦΣ..Θ

取調節函數：

1111

nnnnnnjjjrzxαττ...=.=+Φ.Φ.Σ11nnnnzαηηθ...=+.

那么

2111111..

.nnnjjnnnnjVczzrrατττΤΤ...=.≤.+Θ.Θ+Θ..Θ.ΘΣ.....

11111111122.

..nnnjjnnnnnnjjjnnsjjjjzrzzzxααααττηω........∧===....++Φ.ΣΦΣ+Σ.Θ+..Θ.Θ.Θ.

如果選取調節函數 .nτΘ=.，得

21nnjjnsjVczηω=≤.+Σ.

任務二：機動控制的動態任務

對于速度誤差變量sω，我們有如下設置[2]：

1）跟蹤控制律：假若有0sω=，那么（，）svtθθ=.，速度任務得到滿足，能夠完全達到速度跟蹤目的。

2）梯度調節律：令snωμη=.其中0μ≥，滿足速度任務。

因 11ninniiVzαηθθ.=..=Σ=...

從而此設置可稱為梯度調節律。相應的，機動控制的動態部分變為

（，）（，）nsnsVvtvtθθμηθμθ.=+=...

3）基于濾波形式的梯度調節律

將第任務一中最后一步中的Lyapunov函數進行推廣

2012nsVVωδ=+，并且對V關于時間進行求導，可得

01nssVVωωδ=+...2101

njjnssjczηωωδ=≤.++Σ.

保證上式的第三項成為非負項，選擇梯度調節律為

0ssnlωωδη=...

而這樣控制的動態部分就相應地變為

（

，）（，，）ssvtttθθωθθ=... 0ssnlωωδη=...

參考文獻

[1] Skjetne R， Fossen T I， Kokotovic P V. Robust output maneuvering for a class of nonlinear systems[J]. Automatica 2004， 40（3）： 373-383.

[2] 邊艷華.一類非線性系統的實用輸出機動控制[D].山東：曲阜師范大學，2012.