等價思想在極限方面的應用

王勁松

摘 要：等價思想是數學理論中的一種重要思想，是數學理論的基礎之一。這種思想有助于幫組學生開拓思維，并且能夠增強對新事物的理解和掌握。這有助于強化學生處理各種數學方面問題的能力。等價無窮小代換是計算極限的一種常用，簡單的方法，通過等價無窮小的代換思想可以將極限中的很多問題化繁為簡，化難為易。本篇文章中，我們將對等價思想在極限中的應用進行總結，為讀者整理出一些規律。

關鍵詞：等價、極限、代換

1 引言

等價思想是數學學習的重要方法，也是一個重要的技巧。在高等數學中，學習的知識比較冗雜，學生在記憶大量的公式的過程中會遇到較大的困難。于是，我們可以在學習極限的過程中提出等價這一概念。利用等價代換的思想減少公式的記憶量，從而降低運算的復雜度，提高運算的精準度。

等價轉化思想有助于強化學生處理各種數學方面問題的能力。等價無窮小代換是計算極限的一種常用，簡單的方法，通過等價無窮小的代換思想可以將極限中的很多問題化繁為簡，化難為易。

2 正論

在求解極限問題上，我們實際上有很多種方式，比如利用極限定義、四則運算、兩個基本原則、兩個重要公式、變量代換、等價代換、恒等變形、洛必達法則、泰勒公式等等。其中，等價代換是計算量最小，運算最為簡便的。

所謂等價轉化，就是一種體現“將解法未知的問題劃歸到已有的知識范圍之內，并將其求解”的策略之上。其中，劃歸轉化的方式又分為等價轉化與非等價轉化兩種，我們在這里所講的主要是等價轉化，即轉化過程中的前因后果既充分又必要的轉化過程。

3 無窮小與等價無窮小

無窮小量即以數0為極限的變量，無限接近于0。確切地說，當自變量x無限接近x0（或x的絕對值無限增大）時，函數值f（x）與0無限接近，即f（x）→0 （或f（x）=0），則稱f（x）為當x→x0 （或x→∞）時的無窮小量。

那么無窮小是如何比大小的呢？

假設a，b都是0limxx→時的無窮小，如果0lim=ab，就說b是比a的高階

無窮小。如果∞=ablim，就是說b是比a的低階無窮小。

比如21bx=，1ax=，x→∞的情況下，通俗的來講，b時刻都比a更

快地趨于0，所以稱做a是b高階；有101xc=，那么c比a，b的階數都要

高，因為c更快地趨于0。如果lim（0）0bccka=≠>，，就說b是關于a的

n階的無窮小， b和an是同階無窮小。

從以上無窮小的比較里可以知道，如果cabn=lim，就說b是a的n

階的無窮小，b和an是同階無窮小。特殊地，如果這個常數是1，且n=1，即1lim=ab，則稱a和b是等價無窮小的關系，記作ab。

4 利用等價思想進行代換

所謂等價代換，主要是要使用一些已知的等價量，對于復雜式子中的某一乘除項進行代換，從而降低計算式的整體難度。例如以下例題：

【例題1】20cos1limxxx.→

這道例題大家看到會感覺到很熟悉，在極限中有很多是以這種題型為母題進行研究，但是我這里為什么會列舉出來？很簡單我們知道1-cosx～x2/2，所以這道題很容易就看出來答案是1/2。我舉的這個例子就是最簡單的等價代換的例子，在這里大家需要記住幾個等價代換的式子：

（1）sinx～x

（2）tanx～x

（3）1-cosx～x2/2

（4）arcsinx～x

（5）（1+x） α-1～αx

（6）ln（1+x） ～x

（7）ex-1～x

等等一系列的關系式，這個是需要大家熟記的。

5 等價思想的適用情況

值得注意的是，我們在上文中所講的代換，在式子中僅能針對乘除項。對于加減項來講，是不能夠隨意使用的。例如下面的這道例題：

【例題2】xxxx5sin2sin3sinlim0+→

我們來看第一種解法：

7373lim523lim5sin2sin3sinlim000==+=+→→→xxxxxxxxxxx

第二種解法：

735cos52cos23cos3lim5sin2sin3sinlim00=+=+→→xxxxxxxx

兩道題的答案相同，到底是哪個對呢？這需要我們認真的分析一下。

第一種解法使用的是等價的思想。雖然從結果角度，兩種方法的計算結果是相同的。但是，在第一種方法里，分母項的等效替換沒有遵守替換只能代替多項式中的乘除項而不能使用加減項的原則。在加減項中使用無窮小等價替換時，最大的問題在于需要考慮在同一因子下的其余加減項是否有相同的變化性質，如果沒有，則計算結果就會出現偏差。本題中的結果相同是因為在同一因子內都是可以使用相同類型的等價替換的，所以顯示出的結果是沒有變化的，但實際上，使用這種方法是錯誤的。

第二種解法運用了羅必塔法則，對分子分母分別求導，這樣我們可以得到上述式子的第二步，并且將0帶入時，我們都知道cos0=1因此，只需要一步就可以解出上述式子。

通過對上面兩道題的分析，我們可以得出結論，等價思想不適合于加減法，而僅僅適用于乘除法之中。具體的運用方式，還需要大家深刻的理解還有多方面掌握數學知識。

6 復雜的等價代換舉例

面對一些在極限復雜的題型時（例如根號，開方等等），很多同學都不知道應該如何下手，經常出現盲目下手的現象，要不就是用羅比達求導法則計算。使用洛必達法則雖然過程比較簡單，但是計算量過于龐大，在計算結果的過程中很容易出錯，多次求導后，可能中間會有失誤的地方導致計算失敗。例如下面例題：

例3：3321ln（11）limarcsin21xxx→+..

第一種解法：

32333211223322111311（1）ln（11）limlim111arcsin21223（1）1（21）xxxxxxxxx→→..+..+.=........

331233221411lim1142（1）1（21）xxxxx→+.==..+..

第二種解法：

因為：x→1時，310x.→，3210x.→

所以：x→1時，33ln（11）～1xx+..，3322arcsin21～21xx..

所以：

333333322111ln（11）1114limlimlim=4122arcsin2121xxxxxxxx→→→+..===+..

對比以上兩種方法，顯然使用等效代換思想進行計算的過程要更加簡單，在應試過程中，可以很好地節省時間和提高計算準確率。通過這道例題，大家可以發現，我們可以利用簡單的等價思想，將一道需要要好多遍羅必塔法則的題簡化，利用化繁為簡的思想，逐步把自己的解題能力提升一個高度，也鍛煉自身的發散能力。因此，掌握這種方法，會更好的使自己掌握解決這類問題的方法。

7 結論

以上是等價思想在極限解題中的應用。總而言之，在極限問題中，適當運用等價轉換的方式，可以使內容更加簡潔，分析問題也更加簡單。無論是從培養學生的應用思維還是基本能力，都是非常適合的。在數學的教學過程中一定要注意的是思想的滲透，讓學生有深刻的記憶了解，大學課堂不僅僅教會學生的是一種解決問題的思路，更是教給每位學生以后學習的一種方法。讓學生熟悉更種思維，更能大程度的提高學生的解題能力和數學方面的素養。