在解決問題中生成新知識

奚圣蘭

教學的最高境界是探索教學。在教學中教師注重引導、啟發、講解、示范，充分發揮學生的主動性，學生則通過思考和探索，創造性地學習和運用知識技能，發展自己的智慧、興趣和個性，這是我們的教學的最終方向。

在實際教學過程中每個教者都有著自己的方式方法，不管是什么方式方法，沒有絕對的對錯之分，只有不斷地總結、反思，才能不斷地改進，只有符合學生的認知規律才能有效地實施教學。下面想結合自己的工作，談談在新舊知識交界處把握契機，架起橋梁，讓數學新舊知識的學習變得密不可分，從而促進教者的進一步地研究教學方法，以提高學生的綜合運用知識解決問題的能力。

高一上學期學習必修1、必修4、下學期學習必修2和必修5的前兩個模塊。內容比較多，節奏比較快，所以在新課的導入上有時缺少充分的思考和足夠的時間來讓新知識在學生頭腦中自然生成。在實際教學過程中筆者感受到對課時的劃分不能做到明顯的界限，彼此之間可以相互滲透，比如：我下一節課要開始講正弦定理，而前期學的是直線與圓，在結束這個內容之前，我們做了綜合性地練習，那么這就需要評講，但在時間的分配上不是由老師說了算，而是由學生的掌握情況說了算，所以這新課和舊知之間就有著千絲萬縷的聯系，聯系的紐帶之一就是在作業講解過程中找到契機，隨著一個問題的解決，出現新的方法或是需要學習新的知識才能解決。如果，教師能夠善于探究，把握時機，就可以一舉兩得，又何樂不為呢？！怎樣在解決問題中生成新知識，這個問題值得探究。

筆者根據自己的工作經驗，通過幾個案例想在此和大家一起分享這其中的收獲。學習的資源主要是課本和課后的輔導資料。我們用的是江蘇省中小學教輔材料評議委員會2013年評議通過的《伴你學（蘇教版）》。

案例一：（單調性）必修1第28頁例6是關于函數圖像的應用（比較函數值的大小）。

題目1：試畫出函數f（x）=x2+1的圖像，并根據圖像回答下列問題：

⑴比較f（-2），f（1），f（3）的大小；⑵若0

思考：在例6（2）中

⑴如果把“0

⑵如果把“0

這是在函數圖象部分的例題。對于這個問題的處理，筆者是把它放到評講函數圖象作業后，介紹單調性之前，作為師生共同探討的一個問題來處理的，既起到鞏固圖像的應用，同時又說明我們是利用圖像來探討單調性的，為新課的開始起到了自然過渡作用。這或許就是教材編寫者的用意吧！

案例二：必修4中的第87頁復習題中的思考與運用中的第14題。體現了向量作為數學工具的一個作用（求角度），同時也是引入三角恒等變換中的兩角差的余弦公式的推導方法之一，也是一個簡單的方法。

這個問題的處理，難點在對“直線OM上的一個動點”P的表示上，引導學生攻破這個難點后，就可以讓學生自行解決這道題目了。在學生們解題的時間段里，筆者用幻燈片，呈現坐標平面內的這些元素，待學生們處理完這個問題后，將題目變成：

⑶通過這道題，你能得出一個什么樣的結論呢？從這道題中，得出了兩角差的余弦公式，引入新課。

讓學生在運用已有知識解決問題的過程中，學會思考，學會探究，學會總結，這樣做還能夠調動他們學習的興趣，興趣是最好的“新知探測儀”。

案例三：在《伴你學》（必修2）第93頁，本章能力測試第20題，這真是一個能為學完直線與圓畫上完美的句號，又是為探索新的三角形面積公式和正弦定理埋下的伏筆的好題目。

題目3：已知直線：與圓相交于兩點，O為坐標原點，三角形ABO的面積為S.

⑴試將S表示成k的函數，并求出它的定義域；

⑵求S的最大值，并求取得最大值時k的值。

一般學生都能解決第一個小問題，得到結果為S=，k∈（-1，0）∪（0，1），可是這第二個問題卻沒法用第一問的結果來解決了。那是不是超出我們的能力范圍了呢？是不是等我們學了正弦定理后再來解決這個問題呢？筆者覺得這個時候我們若是選擇放一放，這將會讓學生的求知欲受到影響。所以筆者沒有做這樣的選擇。筆者先畫出圖形，問同學們這是個什么三角形？（等腰三角形，腰長是已知量圓的半徑）它的面積的變化還跟什么有關？（頂角，即兩個半徑的夾角）那我們能不能用這個角來表示它的面積呢？學生們開始試著解決，（經過筆者的點撥：以一條腰為底邊，求高）得出三角形新的面積公式：用三角形的兩邊及其夾角乘積的一半來表示面積。（真是太棒了！），這樣就得出了面積公式：S=absinC，接著順水推舟啊：還能寫成，接著發現什么？absinC=bcsinA=casinB，能不能將這個等式寫成這樣的形式呢？怎樣做就可以了？再換種形式：這時告訴學生，這就是用來解決一般三角形問題最有力的工具之一：正弦定理。此時，筆者從學生的驚嘆聲“Wa！”中，感受到成功的喜悅。正弦定理的學習就這樣引入了。筆者曾思考這樣一個問題：為什么我們的教學一定要按照課本去講解呢？新授課怎樣創設情境呢？教學中，老師可以靈活調整自己的教法，把握契機，打破常規。教學需要有連續性，知識的學習可以螺旋式上升，章魚式擴展，拉網式前進。這符合教育教學規律，也符合學生的認知規律。

以上，是筆者的一些做法和想法，希望能到各位同仁的批評指正，以期今后能將教學工作做得更好。

（作者單位：江蘇省大豐市新豐中學）