淺談排列組合教學中的嘗試

王富

【摘 要】排列組合是數學中比較重要的基礎知識，在日常生活和生產中有廣泛的應用。它所研究的內容獨特，比較抽象，解題的方法靈活多樣，沒有固定的模式，因而學起來比較吃力。是學生數學學習的一個難點。我在教學實踐中特別強調基本原理的深化理解及基本類型的總結歸納，收到良好的教學效果。下面就自己的教學實踐簡述排列組合教學點滴做法和體會。

【關鍵詞】排列組合；數學學習；教學

一、要注重基本概念、基本原理的教學

教學中要使學生明確什么是排列問題、什么是組合問題，進而正確計算排列數和組合數。要重點學習加法原理和乘法原理

加法原理和乘法原理是推導排列組合數公式的依據，要把這兩個原理貫穿于整個章節。這兩個原理即可獨立地解決問題，又可聯系起來解決問題，所以要理解這兩個原理的異同處。

1.加法原理是確定一事物或完成一事物時，不需要分階段（或分步驟），重點在一個“類”字上。而乘法原理是確定一事物或完成一事物時，必須分成若干階段（或若干步驟），故重在一個“步”字。一“類”一“步”是加法原理和乘法原理的不同處。

2. 加法原理能單獨依靠其中任何一個辦法來完成這件事。乘法原理中分步驟是無法單獨完成的。通俗地說，分類是獨立的，是并列的關系而步驟之間是無法獨立的，彼此依附缺一不可。

二、要引導學生掌握基本習題類型和解題的相應方法

排列組合應用題一般說來都是比較抽象的，學生學起來比較吃力，因此必須注意培養學生正確分析和解決問題的能力，引導學生總結掌握習題類型，以及解決各類型題的方法。指導引領學生從繁多復雜的題型中合理歸類。

學生通過老師的指導引領掌握了正確的分類方法，還要能夠掌握每類題型的基本解法，為此教師要示范講解教會學生各個類型題的解題技巧和方法，使學生能舉一反三，類比掌握解決相似問題。不同問題解法教學舉例。

典型問題1：相鄰排列問題

例1：四名男生和三名女生照相，若女生必須站在一起，問共有多少種站法？

分析：將三名女生“捆綁”起來看做一個元素，將4名男生排列共有P55種排法，而這三名女生本身又P33種排法，所以滿足條件的排法總數有P55P33=720（種）

例2：排一張有三個合唱節目和兩個獨唱節目的節目單，要求2個獨唱節目之間恰有一個合唱節目，問該節目單有多少種排法？

分析：本題有一個固定搭配“獨合獨”，可把這個搭配“捆綁”起來當做一個元素，與其余兩個元素排列共有P33種排法，而“獨合獨”的排列法有P31P22種，所以滿足條件的排總數有P33P22P31（種）。

典型問題2：不相鄰排列問題

例3：某次文藝演出，有5個歌唱節目和3個舞蹈節目，若要求舞蹈節目不能連續演出，問有多少種不同次序的節目單？

分析：節目單分兩個步驟完成：①先安排歌唱節目，有 P55；②在兩個歌唱節目之間及首、尾安排舞蹈節目，有P63種方法。符合要求的節目單的種數有P55P63=14400。

典型問題3：有序排列問題

例4 A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊，（A、B可以不相鄰），那么不同的排法共有（ ）

（A）24種 （B）60種 （C）90種 （D）120種

分析：不計條件的排法種數是P55種，對每一種排列要么A在B的左邊，要么A在B的右邊，即對每一種位置的P22種排法中，只有一種符合要求，所以符合條件的排法種數是P55÷P22=60。

典型問題4：自然數比較大小的問題

例5：由0、1、2、3、4五個數字組成無重復數字的四位數，（1）有多少個比2000個大的四位偶數；（2）若按從小到大排列，3204是第幾個數？

解：首位可排2、3、4，末位可排0、2、4，其中共同的數是2、4所以以2、4來分類處理：

（1）當首位是2或4時，首位有P21，末位有P21，中間P32，即P21 P21 P31。

（2）當首位是3時，末位有P31，中間P32，即P31 P32。所以共有P21 P21 P32+ P31 P32=42（個）。

解（2）：由高位到低位逐級分為：

（1）千位是1或2時，有P21 P43個。

（2）千位是3時，百位可排0、1或2，（i）當百位排0、1時有P21 P32個；（ii）當百位數2時，比3204小的僅有3201一個，故比3204小的四位數共有P21 P43+ P21 P32+1=61（個），3204是第62個數。

基本問題1：含有特殊元素的問題

例6：某旅行社有10名翻譯，其中7人會英語，5人會日語，現需派出2名英語翻譯，2名日語翻譯，則不同的派法有

種。

分析：從項目的條件可知有2人是“特殊元素”，問題轉化為這2個人的分派方法問題，（1） 兩人不作為英語翻譯分派有C52 C52=100（種）；（2）兩人作為英語翻譯分派有C72C32=63（種），所以不同的分派方法共有C52C52+ C72 C32=163（種）。

基本問題2：排列組合混合的問題

例7：（95全國）四個不同的小球放入編號為1、2、3、4的四個盒子，則恰有一個空盒的放法有 種。

分析：（先選后排）從四個小球中任選兩個放入其中的一個盒子有 C42 C41種方法，剩余的2個小球放入3個盒子中的各一個有P32 種方法，由乘法原理知不同的放法共有C42P41P32=144（種）。

基本問題3：多重受限的問題

例8：將字母a、b、c、d、e排成一排，a不排在首位，e不排在末尾，有多少種不同排法？

分析一：按a不在首位分類，a可在中間三個位置或在末尾，a若在中間三個位置有C32種排法，e還有三種可能的排法C31，其余三個元素有 P33種排法，故有C31 C31 P33種排法，a若在末尾，共有C44種排法，所以共有C31 C31 P33+P44=78（種）。

分析二：5個字母不計條件的排列有P55，a在首位的排法有P44種，e在末尾的排法有P44種，由于a在首而e在尾的排法兩次重復，用排除法減去時已被多減了一次，應補上，而a在首e在尾的排法有P33種，所以滿足條件的排法共有P55-2 P44+P33.=78。

三、小結

排列組合的內容相對比較獨立，和前幾章的內容聯系不大，具有不易檢驗、抽象、無固定解法等特點，這給學習帶來了一定的困難。但這一章對培養學生的發散思維，提高學生的發散思維，提高學生分析問題的能力無疑是很好的教材，我通過教學實踐后認為使學生掌握一批基本問題和典型問題的解法，加上正確的分類方法和類比解題技巧能力，就能有效的突破難點，使復雜問題轉化為基本問題（化歸思想）從而使問題迎刃而解。

（作者單位：撫順體育運動學校）