單滑塊變質心再入飛行器分岔特性

王亞飛，于劍橋，王林林，蘇曉龍

（北京理工大學宇航學院，北京100081）

單滑塊變質心再入飛行器分岔特性

王亞飛，于劍橋，王林林，蘇曉龍

（北京理工大學宇航學院，北京100081）

基于非線性動力學模型，給出了單滑塊變質心再入飛行器的平衡點及其穩(wěn)定性隨滑塊偏移距離的變化規(guī)律，得到了系統分岔圖，并在此基礎上求解了典型條件下各吸引子的吸引域。結果表明滑塊偏移距離對再入飛行器的平衡點數量及穩(wěn)定性具有明顯的影響，同時初始飛行條件對飛行器的最終收斂狀態(tài)也具有重要的影響，不合適的初始條件有可能導致飛行器被鎖定在不期望的平衡點或極限環(huán)中，從而引起失速或失控等問題。此外，通過分析不同系統參數下的分岔圖變化規(guī)律，總結了再入飛行器結構及氣動參數對系統分岔特性的影響，進而為系統參數的設計提供了參考。

變質心飛行器；非線性動力學；分岔；吸引域

0 引 言

隨著導彈防御技術的進步，機動再入飛行器越來越受到各國的重視。再入飛行器機動控制方法主要有3種［1］：①靠改變彈體氣動外形產生法向力，如十字舵面控制、可動鼻錐控制；②依靠側噴矢量發(fā)動機產生脈沖法向力；③變質心控制，該方法依靠改變再入體內部活動質量塊的位置，改變彈體質心位置，從而在空氣動力的作用下產生配平力矩改變彈體姿態(tài)及法向力，最終實現彈道機動飛行。相比于第一種控制方法，變質心控制無需改變再入體的氣動外形，可有效避免高速飛行條件下的舵面燒蝕問題；相比于側噴矢量發(fā)動機控制方法，變質心控制無需攜帶大量燃料，控制效率高，且不存在側噴擾流問題。由于具有這些優(yōu)點，變質心控制成為了再入飛行領域的研究熱點。

按照滑塊數量的不同，變質心再入飛行器可以分為單滑塊控制或多滑塊控制［2］。其中，單滑塊控制具有執(zhí)行機構少、控制原理簡單的優(yōu)點，國內外學者均對此展開了廣泛的研究，研究內容包括動力學模型的建立［3－5］、滾轉自動駕駛儀設計［3－4］、制導律設計［5－6］、控制機理分析［7］、參數優(yōu)化［8］等。近年來，隨著現代控制理論的發(fā)展，現代控制在再入飛行器控制中的應用越來越廣泛。文獻［9－12］分別采用自抗擾控制、變結構控制及軌跡線性化方法設計了單滑塊變質心飛行器的滾轉控制系統，取得了較好的控制效果。文獻［13］則將一種自適應智能控制策略應用到了變質心再入飛行器的控制當中。

在變質心再入飛行器動力學特性分析方面，由于具有氣動非對稱和結構非對稱的特點，使得單滑塊變質心飛行器的動力學成為一個具有強耦合性的高階非線性系統，基于傳統的線性系統理論很難對飛行器的姿態(tài)動力學特性展開研究，因此對于此類非線性動力系統的分析主要是基于奇異性及分岔理論展開。

分岔分析方法形成于20世紀70年代末，是非線性動力學系統定性研究方法的一個重要分支。近年來，非線性學科的發(fā)展以及計算機技術的進步使得分岔理論在各學科的研究領域中得到了廣泛應用。在飛行器領域，文獻［14－17］將分岔理論應用在了飛機大迎角非線性動力學分岔分析及控制的研究中；文獻［18］分析了客機的翻轉動力學分岔現象；文獻［19］使用分岔方法，針對彈性機體飛機的動力學、穩(wěn)定性及控制問題展開了研究；此外，分岔方法還被應用在翼傘運載系統的飛行動力學問題［20－21］，有負載的直升機動力學問題的研究中［22］。在再入飛行器方面，文獻［23］針對對稱再入飛行器的極限環(huán)運動進行了分析；文獻［24］以類似“聯盟號”飛船返回艙為研究對象，分析了該類飛行器的非線性動力學分岔特性及各吸引子的吸引域；文獻［25］針對自主著陸飛行器的縱向運動隨俯仰舵偏角變化產生的鞍結分岔現象進行了研究，并依據分析結果設計了自動飛行控制系統。

本文將分岔理論用于具有非對稱特點的變質心再入飛行器，使用數值計算方法得到了系統以滑塊偏移距離作為變化量的分岔圖并進行了分析。此后，在分岔圖的基礎上，對典型情況下各吸引子的吸引域進行了仿真，得到了不同滑塊偏移距離下，飛行器在不同初始飛行條件下的收斂結果，并據此總結了各吸引子的吸引域分布規(guī)律。最后，通過計算不同系統參數下分岔圖及分岔點的變化規(guī)律，給出了系統參數對非線性動力學特性的影響。

1 建 模

單滑塊變質心再入飛行器的典型結構如圖1所示。這種飛行器是一種外形不對稱的飛行器，通過切削圓錐體實現，再入體內部有一個可相對于氣動對稱平面?zhèn)认蛞苿拥幕顒淤|量塊。該類飛行器為滾轉單通道控制，在俯仰及偏航通道上則是通過氣動靜穩(wěn)定性來保證姿態(tài)的穩(wěn)定。由于俯仰方向上氣動不對稱，因此其自配平狀態(tài)下可產生固定的配平升力。在進行彈道機動飛行時，需通過橫向移動質量塊使飛行器的質心偏離氣動對稱面，從而在配平升力的作用下產生滾轉控制力矩控制飛行器的滾轉姿態(tài)，進而改變配平升力的方向達到彈道機動的目的。

由于具有氣動不對稱、結構不對稱的特點，變質心控制的固定配平再入飛行器存在非線性氣動力、慣性矩、運動學及動力學之間的耦合作用，其動力學具有強非線性、強耦合性的特點。經典歐拉角在滾轉再入飛行器的分析中具有廣泛的應用［26］，使用經典歐拉角建立的非對稱再入飛行器的模型具有物理含義明確、形式簡單的特點。為了簡化分析，本文利用以經典歐拉角及其角速度為狀態(tài)變量的簡化動力學模型，展開變質心再入飛行器分岔特性的分析。經典歐拉角包括進動角、章動角及自轉角，是再入飛行器坐標系及準速度坐標系之間的一組相對角度。若再入殼體的質心為O，則再入飛行器坐標系及準速度坐標系可定義如圖1所示。

圖1 單滑塊變質心再入飛行器典型結構圖

（1）再入飛行器坐標系（Oxbybzb）

原點為O，Oxb軸沿殼體對稱軸方向指向前為正，Oyb在對稱平面內指向上為正，Ozb軸與其他兩軸滿足右手定則，從彈尾看指向右為正。

（2）準速度坐標系（Ox5y5z5）

原點為O，Ox5沿速度方向指向前為正，Oy5位于包含Ox5的豎直平面內指向上為正，Oz5由右手定則確定。

經典歐拉角的定義如圖2所示。首先Ox5y5z5坐標系沿Ox5旋轉ζ（定義為進動角）至Ox5y’z’坐標系；然后繞Oz’軸旋轉δ（定義為章動角）至Oxby”z’坐標系；最后繞Oxb軸旋轉λ（定義為自轉角）至Oxbybzb坐標系。

圖2 經典歐拉角的定義

為建立再入飛行器的姿態(tài)動力學模型，首先需要給出彈體坐標系下的合外力及合外力矩：

式中，攻角α、側滑角β可由章動角δ、自轉角λ表示

聯立式（1）～式（3），即可得到以δ及λ表示的合外力和合外力矩。

考慮到彈體姿態(tài)運動相對于質心運動為快時變運動，因此在分析角運動時，可以認為載體速度的大小及方向保持不變。在這一假設下，準速度坐標系為慣性坐標系，再入飛行器的角速度可以用δ、ζ和λ的導數表示

對式（4）求導并化簡，可得以經典歐拉角表示的變質心再入飛行器非線性動力學模型）

式中，合轉動慣量矩陣為

式中，JM為載體的轉動慣量；Jm為由活動質量塊偏移引起的附加轉動慣量

m為滑塊質量，M為除滑塊之外的再入體質量，μ為質量比

滑塊在彈體坐標系下的位置、速度及加速度為

2 分岔特性分析

分岔現象是非線性動力學系統特有的現象，對非線性系統的定性分析具有十分重要的作用。若一個系統是結構不穩(wěn)定的，則任意小的參數變化都會使得動力學系統的拓撲結構發(fā)生突然的質的變化，這種變化稱為分岔。因此可將分岔的數學定義敘述如下：

對于含參數的動力學系統

式中，x∈Rn稱為狀態(tài)變量；μ∈Rm稱為分岔參數。當參數μ在Rm內連續(xù)變化時，若系統式（10）的拓撲結構在μ＝μ0處發(fā)生突然變化，則稱系統式（10）在μ＝μ0處出現分岔，并稱μ0為分岔值或臨界值，稱（x，μ0）為分岔點。在參數μ的空間Rm中，由分岔值所構成的集合稱為分岔集。在（x，μ）的空間Rn×Rm中，系統的極限集（如平衡點、極限環(huán)等）隨參數μ變化的圖形稱為分岔圖。分岔可按照研究對象的不同分為靜態(tài)分岔和動態(tài)分岔。其中，平衡點個數和穩(wěn)定性隨參數變化為靜態(tài)分岔，極限環(huán)則是動態(tài)分岔的主要研究對象之一。

若Dxf（x0，μ0）為f關于x的在（x0，μ0）處的雅克比矩陣，則可以證明系統式（10）在（x0，μ0）處靜態(tài)分岔的必要條件為Dxf（x0，μ0）不可逆，即系統式（10）在（x0，μ0）處至少存在一個零特征值。對于高維非線性系統，求得系統平衡點的解析解是十分困難的，因此難以使用解析方法分析系統的分岔現象，數值方法為研究高維分岔問題的主要方法。該方法首先使用數值方法追蹤求解出系統解曲線隨分岔參數的變化，同時通過判斷解的特征值變化規(guī)律判斷系統的穩(wěn)定性及分岔點的位置、類別。據此繪制出非線性系統的分岔圖，則可依據分岔圖對系統隨分岔參數的定性變化展開分析。

當滑塊位置固定時，再入飛行器姿態(tài)動力學系統為自治系統，本文的研究主要是針對該系統的靜態(tài)分岔現象展開。分析分岔現象的基礎是平衡點的求解。為求解該系統的平衡點，令，設平衡點章動角、進動角速度、自轉角分別為，則滿足

其中

未知量與方程數同為3個，因此使用數值計算方法求解式（11）可以得到平衡點隨滑塊偏移距離z的分布曲線。通過變量替換可以證明，在其他參數不變的條件下，若｛zP，為方程式（11）的一個解，則也是方程式（11）的解，且在這4個解處，系統具有相同的動態(tài)特性。因此，在本文中，認為為同一個平衡點。

為得到單滑塊變質心再入飛行器姿態(tài)動力學系統的分岔圖，需計算出平衡點數值及穩(wěn)定性隨滑塊偏移距離的變化規(guī)律。這一計算過程可以依據延續(xù)原理展開，也可以使用非線性數值分析工具AUTO或MATCONT得到，其具體的求解過程本文不再贅述，僅給出結果。

主要參數取如下數值進行仿真：

圖3～圖5給出了依據仿真結果繪制的系統在z∈（－0．5m，0．5m），δP∈（－π／2，π／2）范圍內的平衡點分岔圖。

圖3 δP隨滑塊偏移距離z的變化

圖4 λP隨滑塊偏移距離z的變化

圖5 ˙ζP隨滑塊偏移距離z的變化

圖中，虛線表示不穩(wěn)定的平衡點，實線表示穩(wěn)定平衡點；三角形點“Δ”表示極限點，在該點處，系統具有一個零實根，兩對共軛復根；圓形點“○”表示Hopf分岔點，在該點處，系統具有一對純虛根，一對共軛復根及一個負實根。由圖3～圖5可見，不同于線性系統，該非線性系統的平衡點數量及穩(wěn)定性均隨滑塊偏移距離的變化發(fā)生明顯的改變。不考慮對稱分布的多余平衡點，僅分析z∈（0m，0．5m），δP∈（0，π／2）的情況，則在該仿真條件下，系統的平衡點具有以下分布規(guī)律：

當z∈（0m，0．075 2m）時，系統具有1個穩(wěn)定平衡點及2個不穩(wěn)定平衡點；

當z∈（0．075 2m，0．080 9m）時，系統具有2個穩(wěn)定平衡點及3個不穩(wěn)定平衡點；

當z∈（0．080 9m，0．085 3m）時，系統具有1個穩(wěn)定平衡點及4個不穩(wěn)定平衡點；

當z∈（0．085 3m，0．142 1m）時，系統具有2個穩(wěn)定平衡點及3個不穩(wěn)定平衡點；

當z∈（0．142 1m，0．245 0m）時，系統具有1個穩(wěn)定平衡點及2個不穩(wěn)定平衡點；

當z∈（0．245 0m，0．5m）時，系統具有3個不穩(wěn)定平衡點。

從穩(wěn)定平衡點的分布規(guī)律來看，該系統具有3組穩(wěn)定平衡點，其中穩(wěn)定平衡點2為設計的期望飛行狀態(tài)，飛行器在此狀態(tài)下具有較高的升阻比及較好的動態(tài)特性。而曲線1及曲線3表示的平衡點則為不期望的穩(wěn)定平衡態(tài)，再入體的姿態(tài)運動一旦收斂于此穩(wěn)定狀態(tài)，則會被“鎖死”，由于該狀態(tài)對應著大章動角及高轉速，因此極容易因阻力過大或轉速過高而導致飛行器出現失速或滾轉失控的問題，這是需要避免的穩(wěn)定狀態(tài)。除穩(wěn)定平衡點外，由于Hopf分岔點的存在，該系統還存在著穩(wěn)定的極限環(huán)運動，這種穩(wěn)定的周期運動狀態(tài)同樣也是需要避免的。

需要說明的是，在上述算例中，穩(wěn)態(tài)運動的概念是建立在Lyapunov意義下的，因而只是局部穩(wěn)定的。對于具有多個定態(tài)的系統，僅僅知道局部漸近穩(wěn)定是不夠的。若期望的穩(wěn)定平衡點的漸近穩(wěn)定區(qū)域很小，則在較小的擾動下也會表現出不穩(wěn)定的現象。為此需要引入非線性系統定范圍穩(wěn)定性的概念，即確定穩(wěn)定平衡點的吸引域。

3 吸引域

再入飛行器姿態(tài)動力學具有多個平衡點，因此該系統的平衡狀態(tài)不保證具有全局穩(wěn)定性。此時，系統平衡點的大范圍全局穩(wěn)定性問題成為需要關注的重點。對于漸進穩(wěn)定的平衡點，其“吸引區(qū)域”的大小決定了系統抗干擾的能力。當期望平衡點的吸引區(qū)域包含系統在實際運行中可能受到的干擾范圍時，才能保證系統的穩(wěn)定，否則，則有可能在強擾動下出現失穩(wěn)的現象［27］。確定系統的吸引域是十分困難的，尤其是對于高階非線性系統，數學分析方法很難確定系統平衡點吸引域的估計范圍。而隨著計算機技術的不斷進步，數值計算方法逐漸成為吸引區(qū)域估算的主要方法。

對于系統式（10），若相空間Rn中的閉集A滿足：以A內或其某個鄰域內的點為初始條件的相軌跡在足夠長時間后可充分趨近于A，則稱此集合A為吸引集。若相空間Rn中點y0使得當t→＋∞時從y0出發(fā)的相軌線趨于吸引集A，則點y0的全體稱為吸引集A的吸引盆，也稱吸引域。不能進一步分解的吸引集稱為吸引子，常見的吸引子包括穩(wěn)定平衡點，極限環(huán)等。通過給定不同的初始條件，使用龍格－庫塔方法求解角運動微分方程組，即可獲取系統通過該初始點的相軌線，進而判斷出該點是否位于某吸引子的吸引域內。

對于前文的算例，以z＝0．1m時的情況為例，此時系統存在兩個穩(wěn)定平衡點及一個穩(wěn)定的極限環(huán)。將從不同起始點出發(fā)的相軌線在δ－˙δ平面上投影，所得結果如圖6所示。

圖6 不同起始點的相軌線在δ－˙δ平面上的投影

由圖可見，不同的起始點會使得再入飛行器的姿態(tài)收斂于不同的吸引子。通過不斷改變初始條件，求解各相軌線最終的收斂結果，即可獲得收斂至平衡點或極限環(huán)的初始點范圍，并繪制出穩(wěn)定平衡點或極限環(huán)的吸引域。本文所研究的單滑塊變質心再入飛行器為5維動力學系統，因此其初始條件為5維向量，在此范圍內進行窮舉計算需耗費大量的計算資源，因此文中僅考慮主要的影響因素，分析系統的吸引域在δ－˙ζ平面內的投影。將除δ和˙ζ之外的其他狀態(tài)量初始值設為0，改變初始章動角δ0及初始進動角速度˙ζ0的數值，即可根據收斂狀態(tài)確定初始點位于哪個吸引子的吸引域內。在滑塊位于不同偏移距離的情況下，得到仿真結果如圖7所示。圖中，①號區(qū)域表示起始點收斂至不期望的穩(wěn)定平衡點1；②號區(qū)域表示起始點收斂至期望平衡點2；③號區(qū)域的起始點收斂至不期望的穩(wěn)定平衡點3；④號區(qū)域的起始點則收斂至極限環(huán)運動。

由圖7（a）可見，當滑塊偏移距離z＝0m時，系統的吸引子僅有一個期望穩(wěn)定平衡點，該平衡點具有大范圍穩(wěn)定性，飛行器在不同的初始條件下均可以收斂至期望的穩(wěn)定飛行狀態(tài)。區(qū)間z∈（0m，0．075 2m）內的吸引區(qū)域與該情況類似。

當滑塊偏移距離z＝0．078m時，系統除期望的穩(wěn)定平衡點外，還存在一個不期望的穩(wěn)定平衡點和一個穩(wěn)定極限環(huán)。此時在高轉速條件下，系統的相軌線會收斂至不期望平衡點或極限環(huán)，且章動角越大，吸引域的轉速邊界越低。這意味著飛行過程中，飛行器的姿態(tài)運動會被鎖定在大章動角、高轉速的狀態(tài)下，導致飛行器出現失速、失控等問題。因此在飛行過程中，應盡量將轉速控制在較低的范圍內。區(qū)間z∈（0．075 2m，0．080 9m）內的吸引區(qū)域與該情況類似。

圖7 滑塊位于不同位置時各吸引子的吸引域

當滑塊偏移距離z＝0．1m時，情況與z＝0．078m的情況較為接近，系統除期望的穩(wěn)定平衡點外，還存在一個不期望的穩(wěn)定平衡點和一個穩(wěn)定極限環(huán)。在此條件下，飛行器轉速較高時，系統的相軌線會收斂至極限環(huán)或另外一個不期望的穩(wěn)定平衡點。區(qū)間z∈（0．085 3m，0．142 1m）的吸引區(qū)域與該情況類似。

當滑塊偏移距離z＝0．2m時，此時不存在期望的穩(wěn)定平衡點，按照初始飛行條件的不同，系統會收斂至穩(wěn)定的極限環(huán)或不期望平衡點。這兩種穩(wěn)定狀態(tài)均對再入飛行不利，因此在飛行時應避免滑塊長時間停留在此位置區(qū)域，或在設計時即對滑塊位置進行限幅，使其運行在期望平衡點的有效區(qū)間內，即限制z≤0．142 1m。

由以上分析可知，通過限制滑塊最大偏移距離可以有效降低系統被鎖定在不期望定態(tài)中的風險，尤其是當z∈（0m，0．075 2m）時，期望穩(wěn)定平衡點具有大范圍穩(wěn)定性。因此，當再入飛行器被鎖定在不期望的吸引子時，可以通過將滑塊位置調整回零位附近來解除不良的自鎖狀態(tài)，待飛行器姿態(tài)恢復正常后再重新對再入飛行器進行有效控制。

4 分岔圖隨系統參數的變化

對于分岔圖，除考慮其上的吸引子的吸引域外，分岔特性隨系統參數的變化規(guī)律也是十分重要的性質。對于單滑塊變質心再入飛行器，其彈體結構參數及氣動力系數等對系統的相空間結構具有很大影響。分析各主要系統參數對系統分岔圖的影響，可以得到系統結構參數及氣動參數對其動力學特性的影響，從而為彈體結構、氣動外形等的設計提供參考和依據。

仍基于前文算例進行仿真，通過固定其他參數而僅改變系統的某一個參數，繪制出該參數變化條件下的分岔圖，即可得到分岔圖隨這一系統參數的變化規(guī)律。由于期望穩(wěn)定平衡點對再入飛行器的動力學特性尤為重要，它直接決定了可以具有期望穩(wěn)定狀態(tài)的滑塊最大偏移距離及穩(wěn)定狀態(tài)下章動角的大??；而不期望的穩(wěn)定吸引子則僅對吸引域的分布具有明顯影響。因此，為使分岔圖簡明清晰，下文僅給出含期望穩(wěn)定平衡點的分岔曲線變化規(guī)律，而將另外一條分岔軌跡隱去。這并不意味著系統僅存在這一組定態(tài)曲線。

考慮滑塊相對于載體質心的安裝位置x、y，滑塊質量m，零攻角下的升力系數cy0，零攻角下的俯仰力矩系數mz0，滾轉阻尼力矩系數導數，馬格努斯力矩系數導數變化條件下分岔圖的變化曲線，結果如圖8～圖14所示。

x為滑塊的軸向安裝位置。x增大時，即滑塊在彈體內的安裝位置向前移動時，滑塊在側向的最大穩(wěn)定偏移距離增大，穩(wěn)定狀態(tài)下的章動角有所減小。由于該再入體為錐體外形，越靠近再入體前部，則結構上允許的滑塊最大偏移距離越小。因此，在考慮再入體結構尺寸限制的條件下將再入體位置適當前移，可以有效增加系統的穩(wěn)定范圍。

圖8 不同滑塊x向安裝位置的系統分岔圖

圖9 不同滑塊y向安裝位置的系統分岔圖

y減小時，即滑塊安裝于y軸負向時，期望穩(wěn)定狀態(tài)的最大穩(wěn)定偏移距離增大，在阻力的作用下，彈體的穩(wěn)態(tài)攻角有所下降。因此將滑塊放置于載體內部偏下的位置有利于增大穩(wěn)定范圍。

圖10 不同滑塊質量的系統分岔圖

滑塊質量的增加可以有效提高滾轉控制的效率，但由圖10可見，提高滑塊質量會導致最大穩(wěn)定偏移距離的減小，因此在增加滑塊質量以提高控制效率時，需同時減小最大偏移距離，以保證系統的穩(wěn)定性。

由圖11可見，零攻角下的升力系數cy0對分岔圖的影響十分明顯，甚至會導致分岔曲線拓撲結構的變化。在本算例中，當cy0≥－0．2時，其絕對值越大，則系統穩(wěn)定區(qū)域越大；當cy0＜－0．2時，系統分岔曲線的拓撲結構發(fā)生變化，從一條分岔曲線拆分為兩條。此時，隨著滑塊偏移距離的增大，Hopf分岔點的出現會導致期望平衡點從穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，且cy0的絕對值越大，最大穩(wěn)定偏移距離越小。

圖11 不同cy0的系統分岔圖

圖12 不同mz0的系統分岔圖

與cy0類似，mz0的變化同樣會導致分岔圖拓撲結構的變化。當mz0≥0．007 5時，數值越大，最大穩(wěn)定偏移距離越小，同時穩(wěn)定配平攻角等比例增大；當mz0＜0．007 5時，分岔曲線一分為二，此時，mz0越小，則最大穩(wěn)定偏移距離越小，穩(wěn)定配平攻角越小。滾轉阻尼力矩系數導數增大時，穩(wěn)定平衡攻角基本保持不變，最大穩(wěn)定偏移距離增大。由于過大的滾轉阻尼不利于滾轉控制的快速響應，因此可以在保證滾轉控制系統具有良好動態(tài)特性的基礎上，通過設計較大的滾轉阻尼來提高系統在滑塊偏移距離較大時的穩(wěn)定性。

圖13 不同的系統分岔圖

圖14 不同馬格努斯力矩系數導數的系統分岔圖

馬格努斯力矩系數導數增大時，系統的分岔點分布發(fā)生了明顯的變化。隨著馬格努斯力矩系數導數的增大，分岔曲線趨于平直，極限點分岔點消失，Hopf分岔點逐步前移。Hopf分岔點的出現會導致期望平衡狀態(tài)從穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，且馬格努斯力矩系數導數越大，系統的最大穩(wěn)定偏移距離越小。

5 結 論

本文應用分岔理論，對單滑塊變質心再入飛行器的非線性分岔特性進行了分析，結果表明：

（1）系統存在多個穩(wěn)定的平衡點及極限環(huán)，再入飛行器的期望飛行姿態(tài)對應其中的一個穩(wěn)定平衡點。該期望平衡點存在最大穩(wěn)定偏移距離，當滑塊偏移距離超出此范圍時，期望穩(wěn)定平衡點消失，系統無法收斂于期望的穩(wěn)定飛行狀態(tài)。因此，需保證飛行過程中，滑塊偏移距離不得長時間停留在最大穩(wěn)定偏移距離之外。

（2）在高轉速及大章動角條件下，系統可能位于不期望的吸引子的吸引域范圍內，從而導致飛行器姿態(tài)被鎖定在大章動角、高轉速狀態(tài)下，誘發(fā)失速及失控等問題。因此在飛行過程中，應采取有效手段提高期望平衡點的吸引域。由于滑塊偏移距離較小時，期望的穩(wěn)定平衡狀態(tài)吸引域范圍很大，因此若飛行器被鎖定在不期望的飛行狀態(tài)下，可通過將滑塊調整至對稱平面內，將飛行器解鎖至正常飛行狀態(tài)。

（3）再入飛行器氣動外形及滑塊相對于質心的安裝位置均對分岔圖具有明顯影響。滑塊安裝位置向前，向下移動，減小滑塊質量，增大滾轉阻尼力矩系數導數均可以增大最大穩(wěn)定偏移距離，提高系統的穩(wěn)定范圍。

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E－mail：wangyafei＠bit．edu．cn

于劍橋（1972－），通訊作者，男，教授，博士，主要研究方向為魯棒控制、飛行動力學與控制、飛行器總體設計。

E－mail：jianqiao＠bit．edu．cn

王林林（1987－），男，博士研究生，主要研究方向為飛行動力學與控制、飛行器總體設計。

E－mail：wang＿linlin＠bit．edu．cn

蘇曉龍（1989－），男，碩士研究生，主要研究方向為飛行動力學與控制、飛行器總體設計。

E－mail：suxiaolong＠bit．edu．cn

Bifurcation characteristics of reentry vehicle with one moving point mass

WANG Ya－fei，YU Jian－qiao，WANG Lin－lin，SU Xiao－long
（School of Aerospace Engineering，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China）

Based on the nonlinear dynamic model，the variations of values and stability of equilibrium points for the reentry vehicle with one moving point mass are presented and the bifurcation diagram of the attitude motion is obtained．Then the domains of attraction of the attractors on typical conditions are computed．The results show that the deflection distance of the moving－mass element has a great impact on the quantities and stability of the system’s equilibrium points，and the final convergence status of the flight vehicle is also greatly affected by the initial conditions of the flight motion．Inappropriate initial conditions may cause the reentry vehicle being locked in an undesired equilibrium point or limit cycle and result in problems such as stall or loss－of－control．In addition，by analyzing the variation of bifurcation diagrams of the system with different parameters，the impacts of the structural and aerodynamic parameters of the reentry vehicle on the system’s bifurcation characteristics are summed up，which can provide a reference for the design of the system parameters．

moving mass actuated vehicle；nonlinear dynamics；bifurcation；domain of attraction

TJ 761．3

A

10．3969／j．issn．1001－506X．2015．06．18

王亞飛（1987－），男，博士研究生，主要研究方向為飛行動力學與控制、飛行器總體設計。

1001－506X（2015）06－1338－09

2014－07－21；

2014－10－21；網絡優(yōu)先出版日期：2014－11－20。

網絡優(yōu)先出版地址：http：／／www．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20141120．2109．008．html

國家自然科學基金（61350010）資助課題