橢圓分布中均值-方差分析與期望效用理論的一致性研究

文 平，黃薏舟

（1.常州工學院 理學院，江蘇 常州 213022；2.新疆財經大學 金融學院，烏魯木齊 830012）

均值-方差分析［1-2］是馬克威茨提出的一種分析方法。他指出，投資組合的選擇應根據2個標準：投資組合的均值和投資組合的方差。投資組合的均值用來描述其收益，而投資組合方差用來描述其風險。一個投資組合優于另一投資組合，假如它有較大的均值和較小的方差。均值-方差分析被提出后，由于其所富有的啟發性以及容易在實踐中應用等特點，故被金融界廣泛采用，許多金融模型就構建在均值-方差分析的基礎之上。

均值-方差分析是不同于期望效用理論的一種決策方法，所以兩者的一致性一直在被研究。例如，是否所有風險厭惡的投資者確定的投資組合也是被均值-方差分析所確定的最優投資組合。然而，答案是否定的。現在的觀點是，除非多種投資的聯合分布是多元正態分布或效用函數為二次的，均值-方差分析才與期望效用理論是一致的。然而，正態分布的假定常有其局限性，因為收益分布往往呈現出“高峰肥尾”的特征。同時，二次效用函數的假定也不能令人滿意，因為二次效用函數意味著遞增的絕對風險規避程度，以及當財富超過某一點時效用隨財富遞減。這不僅限制了均值-方差分析的應用范圍，而且動搖了包括投資組合理論和資本資產定價理論在內的眾多理論的基礎。

那么，除了投資的聯合分布是多元正態分布或效用函數為二次函數的情形，是否還存在其他條件且在該條件下均值-方差分析與期望效用理論是一致的呢？即要找到某種條件，在該條件下對于每一個風險厭惡的期望效用最大化者，他總是喜歡均值大方差小的隨機變量，反之亦然。無疑這是一個極其重要且富有挑戰的理論問題，也是一個極具應用價值的實際問題。

Levy等［3-5］指出，進一步的理論發展應集中在對分布加以限制或對偏好加以限制。Meyer［6］證明了LS（Location and Scale）條件下，期望效用可以表示為均值和方差的函數，而且還證明了在一般情況下，期望效用隨均值單調遞增隨方差單調遞減，同時他指出，許多經濟模型都滿足LS條件。但是Meyer沒有能夠在LS條件下直接證明均值-方差分析與期望效用理論的一致性。文平［7］討論了在位置-尺度分布族下，均值-方差分析與期望效用理論的一致性，證明了在位置-尺度分布族中當源的支撐可達到負無窮時，均值-方差分析與期望效用理論是完全一致的。在此基礎上，本文通過進一步的研究發現，可以將均值-方差分析的應用范圍拓展至橢圓分布族。

1 位置-尺度分布族中均值-方差分析與期望效用理論的一致性

關于該問題的討論，已有論述，以下只列出一些結論，結論的證明詳見文獻［7］。之所以在這里列出，主要是便于下面的討論。

定義1位置-尺度分布族是其分布函數形如的隨機變量組成的集合，其中，μ∈R為位置參數，σ＞0為尺度參數，F（·）已知，且是某一個隨機變量的分布函數。

在經濟與管理中，為了便于應用，位置-尺度分布族通常被定義為由一個隨機變量經過仿射變換Y=μ+σX生成的分布族。這樣任何一個隨機變量都可生成一個位置-尺度分布族。為討論方便，不妨設X是均值為0、方差為1的隨機變量；否則，

此時，Y可視為由X1生成的分布族，而X1是均值為0、方差為1的隨機變量。由此可得位置-尺度分布族的等價定義。

定義2設X為隨機變量，其均值為0、方差為1。S=｛Y|Y=σX+μ，σ＞0，μ∈R｝，稱集合S為以X為源的位置-尺度分布族，稱X為該分布族的源，若Y1、Y2均屬于集合S，則稱Y1、Y2屬于同源位置-尺度分布族。

顯然，若X服從標準正態分布，則以X為源的位置-尺度分布族就是正態分布族。若X服從均值為0、方差為1的均勻分布，則以X為源的位置-尺度分布族就是由所有均勻分布組成的分布族。位置-尺度分布族還包括拉柯西分布族、拉普拉斯分布族及穩定分布族等。由定義可以看出，任何一個均值為0、方差為1的隨機變量X都可以生成一個位置-尺度分布族，位置-尺度分布族中的任何一個隨機變量都是其源X的一個仿射變換。位置-尺度分布族有以下性質：

定義3設X的分布函數為F（x），則稱（a，b）為X的支撐，其中，

對于正態分布族，其源X的支撐為（—∞，+∞），即a=b=+∞，所以正態分布族中的任一隨機變量的支撐為（—∞，+∞）。同理，拉普拉斯分布族中的任何一個隨機變量的支撐也為（—∞，+∞）。對于均勻分布族，其源X的支撐為），即a=b=，所以均勻分布中任一隨機變量Y的支撐為

定理1設Y1、Y2同屬以X為源的位置-尺度分布族，Y1=σ1X+μ1，Y2=σ2X+μ2，則有：

（1）Y2一級隨機占優于Y1，即Y2?FSDY1的充要條件為

其中（—a，b）為X的支撐。

（2）Y2二級隨機占優于Y1，但不是一級隨機占優于Y1，即Y2?SSDY1但Y2FSDY1的充要條件為μ2≥μ1且（μ2—μ1）/b≤σ1—σ2，其中（—a，b）為X的支撐。

定理2（Hardar-Ressel定 理）［8］Y1、Y2為2個隨機變量，則對于任意單調遞增且凹的效用函數u（x），E［u（Y2）］≥E［u（Y1）］的充要條件是Y2二級隨機占優于Y1，即Y2?SSDY1

Hardar-Ressel定理表明，期望效用理論與二級隨機占優是完全一致的。從而只要證明與隨機占優的一致性，就可證明與期望效用理論的一致性。

定理3設Y1、Y2同屬以X為源的位置-尺度分布族，Y1=σ1X+μ1，Y2=σ2X+μ2，則對于任意單調遞增且凹的效用函數u（x）有E［u（Y2）］≥E［u（Y1）］的充要條件為μ2≥μ1且σ1—σ2，其中（—a，b）為X的支撐。

由定理1和Hardar-Ressel定理就可得到定理3。由定理3可知，在位置-尺度分布族中，期望效用理論與均值-方差分析之間是有關系的。那么何時兩者是完全一致的呢？由定理3的結論可以看出，只需位置-尺度分布族的源的支撐趨于無窮或均值相等時。因而，有以下結論。

推論1設Y1、Y2同屬以X為源的位置-尺度分布族，Y1=σ1X+μ1，Y2=σ2X+μ2，（—a，b）為源X的支撐，且a=+∞，則對于任意單調遞增且凹的效用函數u（x）有E［u（Y2）］≥E［u（Y1）］的充要條件為μ2≥μ1且

推論2設Y1、Y2同屬以X為源的位置-尺度分布族，Y1=σ1X+μ1，Y2=σ2X+μ2，若μ1=μ2，則對于任意單調遞增且凹的效用函數u（x）有E［u（Y2）］≥E［u（Y1）］的充要條件為。

推論1、2揭示了一個非常重要的結論：當決策集為同源的位置-尺度分布族時，且源的支撐又可抵達負無窮時或均值相等時，均值-方差分析與期望效用理論是完全一致的。該結論是在一維情形下得到的，能否將之推廣到多維隨機變量呢？

2 橢圓分布與球形分布

2.1 橢圓分布的定義

眾所周知，隨機向量X=（X1，X2，…，Xn）T被稱為多元正態分布，假如它的特征函數

等價地，可以稱X為多元正態分布，假如Y=μ+AZ，這里Z=（Z1，Z2，…，Zm）T，是由m個相互獨立的標準正態分布組成的隨機向量，A是n×m矩陣，μ是n維向量。若隨機向量X服從參數為μ和∑的多元正態分布，則記為X～N（μ，∑）。這里，向量μ是X的均值向量，∑是X協方差矩陣，而且∑與A之間的關系為∑=A AT。

類似地，可以定義橢圓分布，橢圓分布是多元正態分布的自然延伸。橢圓分布的定義與性質詳見文獻［9-10］，以下只給出本文要用的內容。

定義4隨機向量X=（X1，X2，…，Xn）T被稱為橢圓分布，假如它的特征函數

記為X～En（μ，∑，φ），φ稱為X的特征產生器。

隨機向量的特征函數總是存在的，并且與分布函數存在一一對應的關系。因而橢圓分布的特征產生器一旦確定，橢圓分布的密度函數形式就確定了。橢圓分布包括的多元分布有：柯西分布、拉普拉斯分布、多元正態分布、Logistic分布、多元Student分布以及部分穩定分布等。

對于多元正態分布而言，若X～N（μ，∑），則對于任何向量X的線性組合ωTX也服從正態分布，并且ωTX的均值為ωTμ，ωTX方差為ωT∑ω。橢圓分布也有類似的性質。

定理4若隨機向量X～En（μ，∑，φ），則對于任意n維向量w，有ωTX～E1（ωTμ，ωT∑w，φ）。

由定理4可知，若多種資產的投資收益用多元橢圓分布來描述，則多種資產的投資組合收益服從具有相同特征產生器的一維橢圓分布。而一維橢圓分布只要特征產生器相同，其實就是位置-尺度分布族。這樣就可以在位置-尺度分布族中討論投資組合問題。

2.2 球形分布

n維隨機向量Z=（Z1，Z2，…，Zn）T，若Z1，Z2，…，Zn相互獨立且服從標準正態分布，則Z服從多元標準正態分布，記為Z～N（O，In），這里O為n維零向量，In為n階單位矩陣，Z的特征函數

類似地，可以將多元標準正態分布推廣至多元球形分布。

定 義5設Z=（Z1，Z2，…，Zn）T，若Z～En（O，In，φ），則稱Z服從特征產生器為φ的n維球形分布，記為Z～Sn（φ）。

由定義可知，若Z～Sn（φ），則Z的特征函數

設A=（aij），μ=（μ1，μ2，…，μn）T，若Z～Sn（φ）。令Y=μ+A Z，可以證明Y～En（μ，∑，φ），這里∑=A AT。

定理5設Z～Sn（φ），則對于任意n維向量w，有

作為定理的一個特例可知，若Z=（Z1，Z2，…，Zn）T，Z～Sn（φ），則Zi均服從S1（φ）。

3 橢圓分布中均值-方差分析與期望效用理論的一致性

設有n種金融資產，其資產收益用向量X=（X1，X2，…，Xn）T表示，這里Xi為第i種金融資產的收益。由于收益具有隨機性，故X1，X2，…，Xn均為隨機變量，故X為一隨機向量。設其均值為μ=（μ1，μ2，…，μn）T，這里EXi=μi，i=1，2，…，n。各種金融資產的收益以某種方式相互依賴，這種依賴可用它們之間的協方差矩陣表示。設Xi與Xj的協方差為

令∑=（σij），則∑為X的協方差矩陣。

投資決策從本質上講為一個投資組合，投資組成由w=（ω1，ω2，…，ωn）T表示，這里ωi為第i種金融資產的投資權重，因而滿足ωi≥0且ω1+ω2+…+ωn=1。

該組合投資不妨設為r1，其收益為

由此可知，該組合投資的期望收益為

其方差為

若有另一投資組合r2由v=（υ1，υ2，…，υn）T組成，即r2=υTX，因而其期望收益為

r2的方差為

是否存在二級隨機占優與均值-方差分析的一致性呢？即ωTX?SSDυTX的充分必要條件為ωTμ≥υTμ且ωT∑w≤υT∑v。

目前研究的結論是，只有當X服從多元正態分布時，二級隨機占優與均值-方差分析是一致的。由于二級隨機占優與期望效用理論的一致性，故在多元正態分布條件下，根據均值-方差分析所做的投資決策與根據期望效用理論所做的投資決策是條件是一致的。但是，如前文所述，多元正態分布的假定存在局限性。正是因為這個原因，人們在不斷探索用其他分布來描述投資收益。

橢圓分布是多元正態分布的推廣，而且橢圓分布具有與多元正態分布很多類似的性質。既然在多元正態分布條件下，二級隨機占優與均值-方差分析是一致的，能否將兩者一致性的范圍擴大至橢圓分布就成為一個值得研究的課題。研究發現，當橢圓分布滿足某種條件二級隨機占優與均值-方差分析是一致的，結果由下述定理給出。

定理6設X～En（μ，∑，φ），若X的邊際分布的支撐可抵達負無窮，則r1=ωTX二級隨機占優于r2=υTX的充分必要條件為ωTμ≥υTμ且ωT∑w≤υT∑v。

證明r1=ωTX則r1～E1（ωTμ，ωT∑w，φ），同理，r1～E1（υTμ，υT∑v，φ）。即r1、r2服從具有相同特征產生器的一維橢圓分布，由于特征函數與分布的一一對應，故r1、r2的分布相同，只是參數不同。另一方面，由橢圓分布和球形分布的定義可以看出，一維橢圓分布一定為一位置-尺度分布族。當橢圓分布的邊際分布的支撐可抵達負無窮時，由橢圓分布產生的投資組合r1、r2的支撐也可抵達負無窮。根據定理1，有r1=ωTX二級隨機占優于r2=υTX的充分必要條件為ωTμ≥υTμ且ωT∑w≤υT∑v。

推論3在橢圓分布中，若橢圓分布的邊際分布的支撐可抵達負無窮，則按期望效用理論進行的投資決策與案均值-方差分析進行的投資決策是一致的。

證明設X～En（μ，∑，φ），r1=ωTX，r2=υTX，當X的邊際分布的支撐可抵達負無窮時，由定理6可知，r1=ωTX二級隨機占優于r2=υTX的充分必要條件為ωTμ≥υTμ且ωT∑w≤υT∑v。根據Hadar-Ressel定理，對于任意單調遞增且凹的效用函數u（x）有E［u（r1）］≥E［u（r2）］的充要條件為ωTμ≥υTμ且ωT∑w≤υT∑v。即在該條件下，期望效用理論與均值-方差準則是一致的。

在金融研究中，常假設投資收益服從正態分布，多種投資收益的聯合分布即為多元正態分布。之所以這樣做，主要是多元正態分布具有一些非常好的性質：①若X=（X1，X2，…，Xn）T服從多元正態分布，則組合投資ω1X1+ω2X2+…+ωn Xn也服從正態分布，從而其邊際分布也為正態分布。②在正態分布假設下，投資決策的均值-方差分析方法與期望效用理論是一致的。然而，用正態分布描述投資收益存在不合理性，實證表明，投資收益往往呈現高峰肥尾的特征，用多元正態分布來描述投資收益顯然是不恰當的，必須引進其他更為復雜的分布甚至分布族。面對高峰肥尾現象，國內外的解決方法主要是運用呈現高峰肥尾特征的分布，諸如柯西分布、多元t-分布、多元拉普拉斯分布以及多元穩定分布等。而橢圓分布恰好是包含了這些分布的分布族。因此，推論3的結論無論從理論上還是從實際上都具有重要的意義。

4 結語

均值-方差分析與期望效用理論的一致性自該方法被提出后一直就是一個被研究的問題。一方面，從分布著手，對分布加以限制；另一方面，從效用函數入手，對效用函數加以限制。目前，普遍的結論是當分布為多元正態分布或效用函數為二次函數時，兩者才是一致的，而多元正態分布以及二次效用函數都有局限性，這樣拓展均值-方差分析的應用范圍就非常有必要。研究發現，當橢圓分布的邊際分布的支撐可抵達負無窮，兩者存在一致性。而橢圓分布所包含的諸如柯西分布、拉普拉斯分布、多元正態分布、Logistic分布以及多元Student分布均滿足此條件，就可將兩者存在一致性的條件由多元正態分布拓廣至這些分布。這不僅具有一定的理論意義，而且具有一定的應用價值。