如何從集合論觀點看待數學教學

韓桂玲

摘要：集合論在現代數學的發展中起到了基礎作用，也使幾個數學分支統一到一起。集合論貫穿于整個數學從基礎數學到高等數學的知識系統中，無論是概念還是方法，集合論都有著不可替代的作用。

關鍵詞：集合論數學教學思想方法

集合論在數學中有獨特的地位，它的基本概念已滲透到數學的所有領域，如各種數學理論是建立在集合論的基礎上的，（實數理論是奠定在集合論的基礎上），各種復雜的數學概念（比如自然數、實數、函數等）都是借助集合定義出來，從這個意義上來講，集合論可以說是現代數學的基礎。

一、集合論的概念與數學教學中集合概念的關系

1874年，康托爾越過“數集”的限制，開始提出“集合”的概念。他對“集合”給出了這樣的定義：把若干確定的有區別的（具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素，也說它屬于該集合，有了集合概念，就可以定義出一系列有關的概念，集合論就產生了。具體定義：一般情況下，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集，集合中每個對象叫做這個集合的元素。這句話，只是對集合概念的描述性說明，但集合是集合論中的原始概念，是學習、掌握和使用數學語言的基礎。從數集、幾何中的點集，到函數的概念與性質等，這些知識就離不開集合，更離不開集合論。也就是說，集合論為基礎數學集合提供了理論基礎，而基礎數學中的集合是集合論在一定范疇內的細化。

集合論是現代高等數學的基礎，數學中每個對象本質上都是集合。有人說：“數學能嵌套在集合論中”——其含義就是指數學的一些對象如數、函數、線、面等都可以用集合來定義。換句話說，數學的各個分支在本質上都是研究這種或那種對象的集合。集合論把無窮集合理論運用到了其他學科上，如整系數代數多項式的全體是一個可數集。又如，幾何學——研究點、線、面的集合;數學分析——研究連續函數的集合;代數學——研究數的集合以及在此集合上定義有關運算的集合等。因此，把集合論作為高等數學的基礎是也是有道理的。

二、集合論的語言與數學的基本關系

集合論語言是一項數學語言，借助于集合論語言，教師可以將基礎數學中的一些基本關系闡述得很清楚，如借助字母符號表式集合與元素，及其邏輯關系，其中大寫字母常常用來表示集合，小寫字母表示元素。

（一）數集

常用的數集：非負整數集（自然數）、正整數集、整數集、有理數集、實數集。在這些基本的數集中，相互之間有的是序關系，有的是等價關系，有的是集合與集合的隸屬關系，即包含與真包含關系。

（二）幾何的點集

幾何中的點集為一維點集，即數軸上的點，進入二維點集的學習即平面點集，它的元素是有序數對。由點集為基礎建立了幾何的一系列的概念系統，由點到線、面的概念。集合論語言用簡練易懂的文字闡述了點與線、點與面、線與面、線與線、面與面的關系。具體來說，直線集內存在著線線平行和線線垂直的關系，平面集內存在著面面平行和面面垂直的關系，向量集內存在著向量的共線關系;圓集內存在著圓與圓的相切、相交、相離、同心的關系;球集內存在著球與球的同心關系。

（三）點集、數集、函數集之間建立的映射關系

1.數集到其自身的函數，即數值自變量的數值函數，這是中學數學研究的主要函數類型，如所有初等函數。

2.數集到點集、點集到數集的映射。如實數和數軸上的點、有序實數對與坐標平面上的點、三元有序實數組與坐標空間的點、復數與復平面上的點都存在一一對應關系。

3.點集到其自身的映集，如通過幾何變換（比如平移變換、旋轉變換、位似等）。

4.幾何圖形集與數集之間的映射，如測算圖形的長度、面積、體積等幾何量的度量。

5.作函數圖形，即將序對集在坐標平面（空間）上表示出來，完成了序對集到函數曲線的點集上的映射。

此外，還有函數集到其自身的映射，如求導數，求不定積分;函數集到數集的映射，如求定積分。

三、集合論的思想方法與數學教學

集合論的思想方法貫穿于整個數學教學中，無論是講述概念還是解決某些問題，集合論的思想使數學概念的定義與問題的解決變得簡單和直觀。

其一，基礎數學中線段的垂直平分線，到兩個定點（線段的兩個端點的）的距離相等的點的集合;圓可以看作是到定點（圓心）的距離等于定長（圓的半徑）的點的集合;角的平分線可看作到角的兩邊的距離相等的點的集合。雖然在基礎數學初期階段還沒有給出集合的定義，但是學生已經接觸到集合思想的運用，集合論思想解釋了這些幾何概念的本質。

其二，解決函數定義域問題。定義域的解是由解析式有意義的幾個條件決定的，每一個條件又是一定元素的集合，它們的交集元素就是定義域的解，函數定義域的求解一般會用求交集的思想來求解。另外，求函數的單調區間也是運用了這個思想。

其三，概率論中的概念及解決方法。集合論觀點也可以解釋概率論中的概念與事件之間的關系，其實質是利用集合論的基本數學思想，來分析基本事件，并用集合論語言描述事件之間的關系，用集合論方法分析事件之間的運算。而有些需要分類討論的問題，解題過程往往過于繁雜，運用補集的思想（即“正難則反”思想）去解答，常?？梢院喕懻?。

其四，在微積分學中，通過集合論中與數形結合研究極限、函數的概念與性質，使用直觀形象的函數圖像來幫助學生加深對概念的理解，使他們明白概念蘊含的真正意義，并能容易區分出相似概念之間的細微差別，此外，集合論在拓撲學、圖論等學科上也有廣泛應用。

集合論已經成為現代數學中的重要基礎，它與數學教材中的很多的基礎概念，基礎思想與方法有著重要的聯系，集合論所思想，使得數學問題變得簡單直觀易懂，很自然地延伸出分類思想和數形結合思想，使得代數學與幾何學有機地結合，使概率學等知識變得系統易懂。

參考文獻：

[1]杜瑞芝等.簡明數學史辭典[M].山東教育出版社，1991（11）.

[2]錢佩玲，邵光華.數學思想方法與中學數學[M].北京師范大學出版社，1999（7）.

[2]徐曉根，王永江.集合論的哲學思考[J].湖南人文科技學院學報，2007（3）.