部分微分中值定理在證明不等式中的應用

高鵬艷

（山西師范大學教育科學研究院 學科教學〈數學〉）

部分微分中值定理在證明不等式中的應用

高鵬艷

（山西師范大學教育科學研究院 學科教學〈數學〉）

微分中值定理是微積分中的重要組成部分.在微分學中，微分中值定理占有很重要的位置，且在解題中的應用也十分廣泛，有些不等式的證明，特別是某些特殊類型的不等式，用初等數學的方法很難達到證明的目的，而用微分中值定理可以實現證明.主要介紹了部分微分中值定理即拉格朗日中值定理、柯西中值定理，不等式的定義及性質以及部分微分中值定理在證明不等式中的應用。

拉格朗日中值定理；柯西中值定理；不等式

一、部分微分中值定理

（一）拉格朗日中值定理

定理2若函數f滿足如下條件：

（i）f在閉區間［a，b］上連續；

（ii）f在開區間（a，b）內可導，

（二）柯西中值定理

定理3設函數f和g滿足

（i）在［a，b］上都連續；

（ii）在（a，b）內都可導；

（iii）f（′x）和g（′x）不同時為零；

（iv）g（a）≠g（b）,

二、不等式的定義及性質

（一）不等式的定義

用不等號將兩個解析式聯結起來所成的式子叫做不等式.

（二）不等式的基本性質

1.不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變.

2.不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變.

3.不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

三、部分微分中值定理在證明不等式中的應用

（一）利用拉格朗日中值定理證明不等式

拉格朗日中值定理在證明不等式中有著極其重要的作用，它是反映函數與導數之間聯系的重要定理，特別是含有兩個不等號的，可考慮利用拉格朗日中值定理.具體證明通過對不等式結構的分析，選定一個適當的輔助函數和區間，對公式進行適當的變化，得到所證不等式.

證明：構造輔助函數（ft）=lnt

因為（ft）在閉區間［x，1+2x］上連續，在開區間（x，1+2x）內可導，所以根據拉格朗日中值定理知存在ξ∈（x，1+2x），使

又因為0＜x＜ξ＜1+2x，

例2.證明不等式 sinx-siny≤x-y.

證明：令（ft）=sint，

因為（ft）在閉區間［x，y］上連續，在開區間（x，y）內可導，

即sinx-siny=（x-y）cosξ，

兩邊同時取絕對值 sinx-siny=x-y·cosξ，

又因為 cosξ≤1，

所以 sinx-siny≤x-y.

（二）利用柯西中值定理證明不等式

柯西中值定理在不等式的證明中有著極其重要的作用，通過對不等式結構的分析，構造某特定區間的函數，使其滿足定理的條件，達到證明的目的.

證明：令（fx）=arctanx，g（x）=ln（1+x2）

因為（fx），g（x）在閉區間［x，1］上連續，在開區間（x，1）內可導，f（′x），g（′x）在［x，1］內每一點都不為零，且g（x）≠g（1）

即atctanx-ln（1+x2）＞ln2，

注意1：柯西中值定理是研究兩個函數的變量關系的中值定理，當一個函數（不妨設此函數為g（x））取作自變量自身時，它就是拉格朗日中值定理，所以用拉格朗日中值定理能證明的不等式一定能用柯西中值定理來證明，反之則不然，下面舉例來說明.

證明：令（ft）=lnt，g（t）=t.

因為f（t），g（t）在閉區間［x，1+2x］（x＞0）上連續，在開區間（x，1+2x）（x＞0）內可導，且g（′t）在［x，1+2x］（x＞0）內每一點都不為零，g（x）≠g（1+2x）.

所以由柯西中值定理知存在 ξ∈（x，1+2x）（x＞0）使得

又因為0＜x＜ξ＜1+2x，

例5.對例2的不等式 sinx-siny≤x-y用柯西中值定理來證明.

證明：令（ft）=sint，g（t）=t.

因為（ft），g（t）在閉區間［x，y］上連續，在開區間（x，y）內可導，且g′（t）在［x，y］內每一點都不為零，所以由柯西中值定理知存在ξ∈（x，y），使得

即sinx-siny=（x-y）cosξ，

兩邊同時取絕對值 sinx-siny=x-y·cosξ，

又因為 cosξ≤1，

所以 sinx-siny≤x-y.

例6.證明 sinx＜ex-1（x＞0）.

證明：令（ft）=sint，g（t）=et，t∈［0，x］

因為（ft），g（t）在閉區間［0，x］上連續，在開區間（0，x）內可導，且g（′t）在［0，x］內每一點都均不為零，g（0）≠g（x），

所以由柯西中值定理知存在ξ∈（0，y）使得

所以ex-1＞0，即ex＞1，

即 sinx＜ex-1.

注意2：以上的例4和例5說明能用拉格朗日中值定理證明的不等式，一定能用柯西中值定理證明；而例6不等式能用柯西中值定理來證明，但不能用拉格朗日中值定理證明，所以分清拉格朗日中值定理和柯西中值定理，對我們在證明不等式時具有很重要的作用.

通過對本文的研究，可以知道有些不等式的證明對我們來說很難，主要是在證明的思路或者在函數的構造上有難度.而對于不同的不等式證明需要靈活地運用不同的微分中值定理來證明.因此，我們一定要熟練掌握微分中值定理這部分內容，以便能在證明不等式時更快地構造出合適的函數，實現我們的證明目的.

另外，通過討論利用部分微分中值定理證明不等式的過程，既發展了學者的思維能力，又進一步揭示了微分中值定理是一種實用性很強的數學方法和工具，它在證明不等式中得到了很好的應用.

［1］侯風波.高等數學［M］.北京：高等教育出版社，2000：78-95.

［2］歐陽光中，姚允龍.數學分析［M］.上海：復旦大學出版社，1998：108-113.

［3］D.S.密斯特利諾維奇.解析不等式［M］.北京:科學出版社，1987.

［4］李中彬.微積分中不等式的證明方法探討［J］.新疆石油教育學院學報，2010（2）.

［5］孫學敏.微分中值定理的應用［J］.數學教學研究，2009（10）.

·編輯 薛直艷