理性思考 自然生長

王介鎖

《數學課程標準》（2011年版）在總目標中指出，通過義務教育階段的數學學習，學生要能“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”，即“四基”，并將基本數學思想界定為抽象思想、推理思想和模型思想。那么，如何在教學中體現呢？前不久在一次市級觀摩課中，余棟梁老師執教的《用字母表示數》一課給我們作了很好的示范。

一、抽絲剝繭，逐步抽象

抽象是數學研究的基本方法，數學研究的是抽象的概念以及它們間的相互關系，即從具體內容中抽象出來的形式、結構和數量關系。通過抽象，人們把外部世界與數學有關的東西抽象到數學內部，形成數學研究的對象。

《用字母表示數》是學習代數知識的重要內容，對四年級學生來說，內容較為抽象與枯燥，教學有一定難度。從物的個數抽象出自然數是學生思維的一次巨大飛躍，這需要經歷一個過程，而從具體的數抽象到用字母表示數，是又一次飛躍。

余老師課始和學生做了個游戲：算24點。出示：10、6、7、A四張牌，讓學生算，學生說出了10+6+7+1=24；10-6=4，7-1=6，4×6=24；10-7+1=4，4×6=24等方法。然后提問：這里的1從哪里來？學生說A就表示1。余老師讓學生經歷實際問題中的用字母表示數，讓學生感到，我們學習的就是我們身邊的數學。這樣，學生在具體的學習活動過程中領悟了用字母表示數的目的和意義，也真正體會了用字母表示數是代數思想的本質所在，很自然地把學生帶入了從現實朝著抽象的啟蒙了。

接著，余老師巧妙地安排了例1的教學：

（1）研究：（變化，數量關系，相同的數量可以用不同的字母來表示）

首先出示用小棒擺1個三角形，讓學生邊看邊思考三角形個數和小棒根數之間的關系，提問：擺1個三角形，用幾根小棒？

接著出示擺2個三角形，問：擺2個三角形要用多少根小棒？怎么樣列式呢？（2×3）

擺3個、4個三角形呢，各要用幾根小棒？（9根、12根）能列出乘法算式嗎？（3×3、4×3）說說你的想法。

你發現規律了嗎？可以同桌討論討論。（擺幾個三角形，小棒根數就有幾個3；小棒根數總是三角形個數的3倍。）這里的3是什么意思？

如果繼續擺下去，還有這樣的規律嗎？你準備擺幾個三角形？（5個）用幾根小棒？（5×3）（……能說得完嗎？能不能想一個簡單的辦法把無論擺多少個三角形的情況都包括進來呢？擺n個、擺x個、擺a個……也就是說可以用字母來表示）

為什么想到用字母來表示呢？（太多了，各種各樣的情況，說不完，用字母就把這些都包括了或概括了）

用a表示三角形的個數，那么小棒的根數是多少？（a×3）你是怎么算的？（三角形的個數×3=小棒的根數）

想一想，這里的字母a可以表示哪些數？（很多數、任意數）具體說說看？（1、2、3、4、5…）他說的這也叫任意的——（整數）自然數。我也說一個，1.2行嗎？（不行，a表示三角形的個數，只能是任意的自然數，不能是小數。）所以，字母a在這里就表示任意的自然數。那么，你覺得字母在這里還表示一個不變的數嗎？（不是，可以變化。）對，變化的數我們可以用字母來表示。（板書：變化）

（2）運用（同一情境中，不同的數量要用不同的字母來表示）。

練習十八：1.筆記本的單價是a元/本。你會根據這個條件填寫下表嗎？

這里的a表示——筆記本的單價，也就是筆記本每本的價錢，可以是哪些數？小數行不行？學生填表指名口答：a×7，a×10，a×18，根據什么？（單價×數量=總價）

后面還有一個，讓你去買，你準備買多少本？（50、100，結合前面的內容，想一個簡單的辦法，把所有的情況都概括在內呢？b本）想一想，為什么這里用b來表示買的本數，而不用a呢？（筆記本的單價是a元，a已經表示筆記本的單價了）

師：在同一問題中，一般用不同的字母來表示不同的數量。

就這樣，通過循序漸進地逐步深入，讓學生在現實情境中去理解、感悟、體會字母能夠表示任何數，相同的數量可以用不同的字母表示，字母還能表示數量之間的關系等，逐步抽象，發展學生的符號感，讓學生逐步學會用代數的思想方法分析和解決問題，體會其優越性。

二、循序漸進，有序推理

思維形式有三種，即形象思維、邏輯思維和辯證思維。邏輯思維的集中表現是邏輯推理，數學學科內部的發展依賴的就是邏輯推理。

鑒于小學生的思維以形象思維為主，由形象思維逐步向邏輯思維過渡的特點，余老師在經過例1的教學鋪墊的基礎上，在例2的教學中滲透了推理思想。

（1）出示題目：甲、乙兩地之間的公路長280千米，一輛汽車從甲地開往乙地。你能用式子表示行駛了一段路程后剩下的千米數嗎？

課件演示：一條線段表示甲、乙兩地之間的公路長280千米，（紅色箭頭）從甲地往乙地：已經行駛了50千米，剩下的千米數是（280-50）；已經行駛了74.5千米，剩下的千米數是（280-74.5）；（紅色箭頭顯示）從甲地往乙地，已經行駛了（ ）千米，（對，不知道行了多少千米，也就是未知量可以用字母來表示，說說看。）（板書：未知）剩下的千米數是（ ）-（ ），為什么這樣列式？（總路程-已行路程=剩下路程）

想一想，這里的b又可以表示哪些數？可以是小數嗎？（可以表示整數，也可以表示小數）能是大于280的數嗎？（可以是0或280嗎？應是0到280之間的數）字母表示的數有時候有一定的范圍。

（2）如果b=120，剩下多少千米？怎么想的？

小結：字母的值確定，含有字母的式子的值也就確定。

（3）運用。

練一練：根據“玲玲和媽媽談論年齡”的對話填寫下表。

猜一猜：玲玲多少歲？也就是說玲玲的年齡是變化的，那根據剛才的經驗，你能想個辦法表示任意一年玲玲的年齡嗎？（用字母來表示）如果用a來表示玲玲的年齡，你能知道媽媽的年齡嗎？（不能，因為不知道她們之間的關系。用字母可以，用含有字母的式子行嗎？）好的，出示媽媽的年齡a+28，你還能想到什么？那你知道玲玲和媽媽的年齡有什么關系？在這里，a+28不僅表示媽媽的年齡，還表示媽媽比玲玲大28歲這種關系。如果a=10，媽媽多少歲？如果a=40呢？如果a=400呢？（不行，人的年齡是有限的）好了，如果媽媽b歲呢？想一想，玲玲多少歲？這里的b-28不僅可以表示玲玲的年齡，還表示玲玲比媽媽小28歲這種關系。

以上三個環節中，每一個操作設計都在為學生的有效推理提供平臺，每一句問話都是在啟動學生的思維，引發學生的思考，助推學生的推理。

三、還原真實，建構模型

任何領域的研究最終都希望形成概念、探尋規律性的東西。用數學的語言表述概念、描述規律既簡潔又準確，這就是人們常說的數學模型。對小學生來說，數學模型就是連接學生所學的數學知識與他們所處的生活場景之間的紐帶。

縱觀整節課，盡管學生沒有進行過有關代數知識的學習，但余老師展示了大量學生所熟悉和喜愛的現實材料以及設計精妙的問題提供給學生，讓學生在直觀的視覺活動和細致的分析思考中理解問題的情境、分析問題的邏輯、領悟問題的實質、掌握解決的辦法，從而很清晰地理解用字母可以表示一個數，也可以根據數與數之間的關系含有字母的式子表示另一個數，即用含有字母的式子表示數量之間的關系，從而建立含有字母的式子的模型，自然地促進學生由算術思維到代數思維的過渡。這個過程中，學生經歷觀察、發現、歸納、討論交流等，學生不僅獲得了解決問題的結果，也體驗到了自主解決問題的種種樂趣。比如：通過擺小棒的情境，讓學生體會用字母和含有字母的式子表示數的目的和意義，展示用字母表示數的優越性；利用多媒體課件的直觀優勢，把汽車從甲地到乙地的行進過程展示在學生眼前，讓學生知道用字母表示數的時候，有時是要考慮一定的范圍的；通過“玲玲和媽媽談論年齡”這個學生感興趣的活動，讓學生從最簡單的加、減法數量關系開始，初步學會用含有字母的式子表示數量的方法，等等。

數學的基本思想為把現實生活引入到數學知識體系（即生活數學化）和把數學知識運用到現實生活中指導生活實踐（即數學生活化）提供了思維功能，準確地把握這個功能對數學教學以及學生的數學成長是很有好處的。因此，在數學教學過程中滲透數學思想是我們每個數學老師應該關注的，也是必須做的。