以數學思維的分析帶動具體知識的教學

牛獻禮 中學高級教師，小學數學特級教師，現任教于北京亦莊實驗小學。

曾于1999年榮獲全國小學數學第四屆評優課一等獎；多節錄像課由中央電教館、河南省電教館、北京市電教館等單位發行；2012年12月，在中國教育學會小學數學專業委員會第十五屆年會上執教觀摩課；在省級以上教育刊物上發表教學論文、案例等100多篇，40余篇論文獲省、市級以上獎勵，參與編著《名師如何觀察課堂》《名師課堂DNA解碼》（小學數學卷）、《可以這樣教數學》（數學名師的教學智慧）等多本教育類書籍，主持的五項教育科研成果獲省級一、二等獎。

案例：加法交換律

課始，由成語故事“朝三暮四”引出等式“3+4=4+3”。

師：像這樣的等式你還能寫出幾個嗎？

生：5+9=9+5，

8+2=2+8，

1億+2億=2億+1億，

……

師：這樣的例子能舉出多少個？

生：無數個。

師：觀察這幾個等式，你發現了什么？

生：我發現“=”兩邊的數都一樣，只不過顛倒了一下位置。

師：哦，這兩個加數的位置交換了。

生：“=”兩邊的結果都一樣。

師：你怎么知道兩邊是相等的啊？

生：可以算啊！

師：是不是每次都要算啊？

生：不一定都要算。

師：那你為什么這么肯定“兩邊是相等的”？能不能找到一個“反例”，左右兩邊的兩個數相加后結果不一樣？

生：肯定找不到反例！因為左右兩邊的數是一樣的，只不過是位置換了，加起來結果當然一樣。

師：說得有道理！我們可以舉出無數個這樣的例子，但又舉不出一個“反例”，說明這是加法的一個規律。誰能把這個規律完整地說一說嗎？

生：兩個數相加，交換它們的位置，結果不變。

師：總結得真好！知道這個規律叫什么名字嗎？它叫作“加法交換律”。

（出示）兩個數相加，交換加數的位置，和不變。這叫作加法交換律。

師：你能用自己喜歡的方式表示出加法交換律嗎？在練習紙上寫出來。

學生獨立思考，然后全班交流，讓學生講一講“自己是怎么想的”。

生1：□+○=○+□。

生2：A+B=B+A。

生3：梨+蘋果=蘋果+梨。

生4：用畫圖的方法，小樹葉+大樹葉=大樹葉+小樹葉。

追問：你是畫圖表示的，我想問問，左邊的小樹葉跟右邊的小樹葉一樣嗎？大樹葉呢？

生4：小樹葉和小樹葉一樣，大樹葉和大樹葉一樣，代表相同的數。

生5：a+b=b+a。

生6：甲數+乙數=乙數+甲數。

……

師：同學們很愛動腦筋，想出來這么多的表示方法！在數學上，習慣用字母表示加法交換律，通常寫成“a+b=b+a”。與前面用一段文字表示“加法交換律”相比，你更喜歡哪一種？為什么？

生：喜歡用字母表示，這樣簡單、好記。

師：確實，用字母這種數學語言來表示更加簡潔，也便于交流。所以，有人說“數學語言是世界上最簡潔、最美麗的語言”。

師：加法里有交換律，其他運算中會有交換律嗎？先自己想一想，然后在小組里討論一下。

學生思考、討論后，全班交流。

生：乘法里有交換律，比如3×5=5×3。減法和除法里沒有交換律，5-3不能寫成3-5，6÷2不能寫成2÷6。

師：說得真好！加法和乘法關系密切，乘法本身就是幾個相同加數的簡便運算，所以，加法的交換律可以推廣到乘法里去，但減法和除法里就沒有交換律。看來，規律有它的適用范圍，我們在使用時一定要注意。

……

思考：

加法交換律乃至整個運算律的教學，一般都是集中于“規律的發現和檢驗”，尤其注重對相關猜想進行驗證，引導學生“有了猜想，還需要舉很多例子來驗證，這樣得出的結論才準確”，“舉例驗證時，例子應盡可能多，而且，應盡可能舉一些特殊的例子，這樣，得出的結論更可靠”。其實，無論就教材或是實際教學而言，所說的“加法交換律”早已得到了默認。如學生自一年級開始學習加法以來就反復地接觸到了9+1=1+9=10等事實，教師在教學中也常常會給學生這樣的建議：為了保證運算的正確性，可以通過交換加數的位置對已有結果進行檢驗，如用328+289的計算去檢驗289+328計算結果的正確性。在這樣的情況下，我們應該怎樣進行“加法交換律”的教學呢？

首先，教學不應集中于“規律的發現和檢驗”，而應通過教學促成學生由原先對相關規律的不自覺認識轉向更為自覺的狀態。也就是說，一方面，要鼓勵學生用自己的語言清楚地表述規律，包括由自然語言向符號語言的過渡；另一方面，要引導學生說出自己的理解和感受，乃至給出自己的比喻。

其次，盡管小學數學教學不強調嚴格的證明，但對規律的驗證也是必要的。教學中，應鼓勵學生對發現的規律作出自己的理解與說明，并通過“可以舉出無數個這樣的例子（正例），同時又舉不出一個反例”，幫助學生理解運算律的合理性。

最后，對加法交換律（或其他運算律）作出新的推廣或發展，幫助學生更好地認識相關規律的適用范圍，從而切實防止對規律的不恰當推廣。

進一步，由這節課的教學推想開去：我們應當用“聯系”的觀點指導具體的教學。“在教一個知識點的時候應該把知識看作一個包，而且要知道當前的知識在知識包中的作用。你還要知道你所教的這個知識受到哪些概念或過程的支持，所以你的教學要依賴于強化并詳細描述這些概念的學習。當教那些將會支持其他過程的重要概念的時候，你應該特別花力氣以確保你的學生能夠很好地理解這些概念，并能熟練地執行這些過程。”（馬立平，《小學數學的掌握和教》）比如，上述加法交換律的教學從一開始就確定了研究問題的視角，將學生的注意力引向以下研究方向：從眾多例子中發現規律、找反例驗證規律、用自己個性化的方法表述規律、思考能否推廣到其他運算中去，等等。一旦這些共識達成，剩下的工作就十分簡單了，只需要“讓學生借助經驗展開數學的想象”，就能夠遷移到后續更多運算律的學習當中去了。

綜上所述，我們應當以數學思維的分析帶動具體知識內容的教學，從而幫助學生不僅能夠較好地掌握相關的知識與內容，也能逐步學會數學地思考：應當超出每一堂課的具體設計并從更大的范圍進行分析思考。如此，教學因為有了一定的廣度，也就可能達到更大的深度。