帶形狀參數的五次三角Bézier 曲線

張丹丹，吳歡歡

(安徽廣播電視大學 安慶分校，安徽 安慶 246001)

0 引 言

在計算機輔助幾何設計中，學者們對曲線曲面的研究做了大量的工作，像Bézier 曲線、B 樣條曲線［1］.為了對曲線曲面的形狀進行靈活地修改，研究者引入了形狀參數，例如，文獻［2］討論了帶形狀參數的Bézier 曲線，通過引入一個形狀參數，對曲線的形狀進行調控.但Bézier 曲線在組合曲線相鄰控制頂點上的連續性，有局限性.近年來，研究者開始研究三角函數空間上的曲線曲面的表示方法，例如，文獻［3］首次討論了帶一個形狀參數的二次三角多項式曲線及2 段三角多項式曲線的拼接問題，文獻［4］研究了二階、三階三角函數組成的T-Bézier 曲線，其二階曲線在拼接點處可達到G3連續，三階曲線可達到G2連續，文獻［5］討論了帶一個形狀參數的T-Bézier 曲線，該曲線可表示橢圓和圓，文獻［6］研究了帶2 個形狀參數的三次三角Bézier 曲線，通過改變參數λ1、λ2，可對曲線的形狀進行局部或整體調控，文獻［7］研究了帶形狀參數的類四次三角Bézier 曲線，給出了2 段曲線G2、G3連續的條件，該曲線還可表示橢圓、拋物線等二次曲線弧.在此基礎上，本研究分析了帶一個形狀參數的五次三角Bézier 曲線，它具有五次Bézier 曲線類似的幾何性質，并討論了組合三角多項式曲線在拼接點處C2連續的條件，該五次三角多Bézier 曲線可精確地表示橢圓弧、圓弧、拋物線弧等.

1 基函數

式(1)的五次三角多項式基函數具有如下性質，

1)非負性.

2)權性.

3)對稱性.

4)端點性質.

5)單調性.

當α遞增時，b0(t)、b5(t)單調遞減，b2(t)、b3(t)單調遞增;當t ∈［0，π/6］時，b1(t)單調遞增;當t ∈［π/6，π/2］時，b1(t)單調遞減;當t ∈［0，π/3］時，b4(t)單調遞減;當t ∈［π/3，π/2］時，b4(t)單調增減.

圖1 為α = 1 時基函數圖像

2 曲線與性質

定義2 給定R2或R3中的6 個控制點Pi，i =0，1，2，3，4，5，

則稱式(2)為帶形狀參數α 的五次三角Bézier 曲線.

該曲線具有下列性質:

1)端點性質.

2)對稱性.

圖2 為形狀參數取不同值的五次三角Bézier 曲線，從上到下α 依次取1，0.5，0，－ 0.5.可發現當α增大時，曲線越逼近控制多邊形.

圖2 取不同參數值的曲線

3 曲線的連續

設2 條曲線，

定理1 若V0V1與P4P5共線且方向相同，即，

且V0= P5，則曲線r1(t)與r2(t)在連接點處C1連續.

證明

即曲線r1(t)與r2(t)在連接點處C1連續.

定理2 當α1= α2= 1 時，在C1連續的條件下，若時，則曲線r1(t)與r2(t)在連接點處C2連續.證明 當V0= P5時，

即曲線r1(t)與r2(t)在連接點處C2連續.

4 應用實例

4.1 橢圓弧、圓弧的表示

設P0，P1，P2，P3，P4，P5為控制多邊形頂點，當α =時，取P0=(a，－b)，，則該五次三角Bézier曲線可表示為，

當a = b 時，該五次三角Bézier 曲線表示的是一段圓弧.圖3 給出了橢圓弧的曲線表示.

圖3 橢圓弧的表示

4.2 拋物線弧的表示

圖4 給出了拋物線弧的曲線表示.

圖4 拋物線的表示

4.3 花瓣圖形

五次三角Bézier 曲線與五次Bézier 曲線一樣，可以表示開曲線、閉曲線的模型.圖5 是α = 1，0.5，0，－0.5 時的開曲線、閉曲線花瓣圖形.

圖5 花瓣圖形

［1］施法中.計算機輔助幾何設計與非均勻有理B 樣條［M］.北京:高等教育出版社，2001.

［2］Han Xuli.Quadratic trigonometric polynomial curves with a shape parameter［J］.Comp Aided Geom Des，2002，19(7):479－502.

［3］吳曉勤.帶形狀參數的Bézier 曲線［J］.中國圖像圖形學報，2006，11(2):269－274.

［4］嚴蘭蘭，韓旭里，鄔國根，等.二階/三階三角Bézier 曲線［J］.圖學學報，2013，34(5):71－75.

［5］吳曉勤，韓旭里.帶參數的二次三角Bézier 曲線［J］.工程圖學學報，2008，29(1):82－87.

［6］楊聯輝，鄔弘毅.帶形狀參數的三次三角Bézier 曲線［J］.合肥工業大學學報(自然科學版)，2005，28(11):1472－1476.

［7］楊煉，李軍成.一類帶形狀參數的類四次三角Bézier 曲線［J］.計算機工程與科學，2011，33(3):77－81.