一種小線段平滑過渡軌跡控制算法的實現

林 峰，鄭力新

(1.福建商業高等?？茖W校 信息管理工程系，福建 福州 350012;2.華僑大學 工學院，福建 泉州 362021)

0 引 言

在數控加工系統中，對于加工工件的曲面通常采用直線段進行逼近，即把待加工的圖形分解成一系列的小線段后，再由數控系統中的控制器對每個小線段進行插補運算.為了保證加工精度，傳統的直線插補算法在每個小線段之間進行加減速處理，使加工每條小線段時的初始速度和終止速度都為零.這種方式必然造成系統的頻繁啟停，使得加工效率低，且加工的質量不高.為了解決這些問題，科研人員相繼開展了小線段過渡技術的研究，并取得了一定成果［1－6］.為了進一步提高小線段的加工效率，使小線段之間的過渡更為平滑，本研究提出了一種小線段平滑過渡算法，使其能夠應用于一般的控制器中，從而在滿足加工精度和機械特性的條件下，提高工件的整體加工效率.

1 圓弧過渡的數學模型

如圖1 所示，由點Pi－1、Pi、Pi+1所構成的線段Pi－1Pi、PiPi+1分 別 為2 條 相 鄰 的 小 線 段，圓 弧為在兩線段之間插入的過度曲線，其中Q0、Q2分別為圓弧在線段Pi－1Pi、PiPi+1上的切點，Q1為圓弧的中點.為了分析圓弧與兩線段之間的關系，如圖2 所示，首先建立一個以Q0為原點、以為X 軸正向和以為Y 軸正向的坐標系.假設加工路徑為Pi－1→Pi→Pi+1，Pi為線段之間的拐角點，按照這個順序取向量為和，則將2 個向量之間的夾角作為線段之間的夾角.在這個順序下，Q0即為過渡圓弧的接入點，而Q2即為過渡圓弧的轉出點.

圖1 圓弧過渡示意圖

圖2 圓弧過渡坐標系

圖2 中，△Q0OQ2為等腰三角形，從而可以推出△Q0PiQ2也為等腰三角形，因此拐角點Pi到接入點Q0和轉出點Q2的距離是相等的，即Pi到接入點Q0和轉出點的距離稱為線段Pi－1Pi和PiPi+1完成圓弧過渡所需的最小長度，這里稱它為過渡距離.由于線段PiQ1垂直于圓O 上過點Q1的切線，所以線段PiQ1的長度為拐角點Pi到過渡圓弧的最短距離，稱之為輪廓誤差.

假定線段Pi－1Pi與PiPi+1的長度分別為Si和Si+1，且它們之間的夾角為α，過渡圓弧半徑為r，圓心角為φ，拐角點Pi到圓弧的最短距離為e，以及完成圓弧過渡所需的過渡距離為l.根據幾何知識，可以得到下面這組式子，

通過式(1)就可推導出相鄰小線段之間的夾角α、小線段的過渡距離l、拐角點到過渡圓弧的最短距離e 以及過渡圓弧的半徑r 之間的關系為，

2 圓弧過渡算法

采用插入圓弧的方式來實現相鄰小線段之間的平滑過渡時，實際加工路徑與原始加工路徑會有一定偏差.首先，需要滿足的就是使加工的輪廓誤差在允許范圍之內，根據輪廓誤差、兩線段夾角和線段長度就可以確定過渡圓弧的半徑以及接入點和轉出點，然后通過兩線段的向量關系得出過渡圓弧的旋轉方向，其次，是在過渡圓弧上的進給速度需滿足加工平臺的機械特性，根據所允許的最大加速度即可算出最大進給速度.最后，計算出全路徑上的數據并與控制器的插補指令相結合，即可實現小線段的平滑過渡.

2.1 過渡圓弧半徑和接入點、轉出點的確定

在兩線段間插入過渡圓弧后，實際加工路徑將不同于原始加工路徑，因此存在著一定的輪廓誤差.這個輪廓誤差的最大值就是拐角點到過渡圓弧中點的距離.為了使加工精度能夠滿足要求，在確定過渡圓弧的半徑和接入點、轉出點時需考慮它的輪廓誤差，因此取最大輪廓誤差Em來限制過渡圓弧的參數.將Em代入式(2)中，可以得到由最大輪廓誤差所限制的過渡距離lc為，

由于式(3)是建立在圖2 的數學模型之上，且實際的Em取值會遠遠小于線段長度，因此最大輪廓誤差Em限制的過渡距離lc一定小于相鄰線段的長度.

圖3 線段自身長度限制示意圖

如圖3 所示，任意3 條連續的小線段Pi－1Pi、PiPi+1、Pi+1Pi+2構成了2 個相鄰的拐角，它們之間存在公共線段PiPi+1，因而2 個拐角在公共線段PiPi+1上的過渡距離可能發生重疊的情況，即后一個過渡圓弧的接入點位置在前一個過渡圓弧轉出點之前，所以過渡圓弧的半徑和過渡距離不僅受到最大輪廓誤差的限制，還受到小線段自身長度的限制.假設受到線段自身長度限制的過渡距離為ls，且每條小線段上的過渡距離不超過自身長度的一半，則有，

為了使如圖1 所示的小線段Pi－1Pi和PiPi+1之間的過渡圓弧能夠同時滿足最大輪廓誤差和小線段長度2 個約束，這里分成2 種情況進行討論，以確定過渡圓弧的半徑r 和圓弧的接入點Q0及轉出點Q2.

1)當lc≤ls時，表明由最大輪廓誤差確定的過渡距離能夠同時滿足小線段自身長度的要求，因此過渡圓弧的參數僅根據最大輪廓誤差得出即可.此時過渡距離為lc，根據式(3)和幾何上的比例關系可以計算出過渡圓弧的半徑r 和圓弧的接入點Q0及轉出點Q2，它們分別為，

2)當lc＞ls時，表明由最大輪廓確定的過渡距離不能夠滿足小于小線段自身長度一半的要求，因此還應該由小線段長度進一步約束過渡圓弧的參數.此時的過渡距離為ls，同理，根據幾何上的比例關系可以計算出過渡圓弧的半徑r 和圓弧的接入點Q0及轉出點Q2，它們分別為，

首先根據最大輪廓精度和小線段長度算出由它們分別決定的過渡距離，比較lc和ls根據情況將其一和線段端點Pi－1、Pi、Pi+1代入式(5)或(6)中就可以得到唯一的滿足最大輪廓誤差和小線段長度2 個條件的過渡圓弧.

2.2 過渡圓弧旋轉方向的確定

圓弧插補有2 種描述方法:半徑描述方法和圓心坐標描述方法.本研究的過渡圓弧采用的是半徑描述的方法，除了確定圓弧的起始坐標、終點坐標和半徑外，還需要判斷其是順時針或逆時針方向.在向量的叉乘中，2 個向量的向量積方向同樣符合右手定則，因此本研究將一系列小線段所在的平面坐標系擴充為三維坐標系，即原來小線段所在的xOy 面保持不變，作垂直于該坐標平面的軸為z 軸，然后以相鄰小線段為向量，研究它們的向量積方向就可以判斷出相鄰小線段間過渡圓弧的旋轉方向.

假設有如圖1 的相鄰小線段，且Pi－1、Pi、Pi+1的坐標分別為(xi－1，yi－1)、(xi，yi)、(xi+1，yi+1)，將平面坐標系擴充為三維坐標系后，由于小線段處于xOy面上，因此Pi－1、Pi、Pi+1在三維坐標系中的坐標為(xi－1，yi－1，0)、(xi，yi，0)、(xi+1，yi+1，0)，則 向 量分別表示為(xi－ xi－1，yi－ yi－1，0)、(xi+1－ xi，yi+1－ yi，0).設根據向量積的坐標表達式，

可知，

2.3 過渡圓弧段最大進給速度的確定

直線段的插補按照設定的最大進給速度工作，受到工作平臺機械特性的約束，其所能提供的最大加速度是有限的.為了保證加工過渡圓弧時的法向加速度滿足加工平臺的機械特性，需要限定過渡圓弧段的最大進給速度.假設加工平臺所能提供的最大加速度為am，過渡圓弧的半徑為r，則根據向心加速度公式得出由最大加速度所限制的過渡圓弧段的最大進給速度vm為，

為了使過渡圓弧既能符合加工工藝的要求，又能滿足加工平臺機械特性，最終過渡圓弧段的最大進給速度應取系統設定最大速度、最大加速度限制的進給速度vm中的最小值，即，

在進入到過渡圓弧段之前，應當提前進行減速，使加工速度在過渡圓弧的接入點時恰好為v，并以該速度完成過渡圓弧的加工.

2.4 離線的前瞻控制

一般意義上的前瞻控制是實時的，若本研究算法采用實時前瞻控制實現，那么控制器應當先由用戶對加工圖形進行編程，用直線插補指令對分解出來的一系列小線段進行直線插補.當使用前瞻控制功能時，控制器從用戶編寫的指令中預先獲取待加工路徑的幾何信息，提前計算出各個相鄰小線段拐角處過渡圓弧的參數和最大進給速度，并插入到相應的拐角中，然后按照平滑后的加工路徑進行加工，如圖4 所示.

圖4 平滑后的加工路徑

本研究采用固高GTS-400-PV 運動控制卡對算法進行驗證，因此無法對其進行前瞻控制，只能采用離線的方式完成前瞻控制功能并用控制卡自身的指令實現.對此，本研究使用VC 6.0 作為開發工具，編寫程序完成前瞻控制的運算并產生相應的代碼.首先將原始路徑上各個端點的數據保存于文本文檔中，并與該程序存放于相同目錄下，運行程序后自動讀取文檔中的數據，再根據這些數據和程序中設定好的諸如最大加速度、進給速度等加工參數自動計算各個拐角處過渡圓弧的參數以及每個過渡圓弧段的最大進給速度，最后將計算出來的結果按照該型號控制卡直線插補和圓弧插補的指令格式輸出至新的文本文檔中，將指令復制到控制卡的程序代碼中，即可完成前瞻控制的功能.

3 實驗驗證

在工件的小線段加工中，加工效率的高低主要取決于各個拐角點所允許的最大進給速度.本研究采用固高GTS-400-PV 運動控制卡進行驗證.在進給速度F = 20 pulse/ms，最大加速度am= 0.15 pulse/ms2，最大輪廓誤差Em= 1 pulse 的條件下，分別采用直接過渡的方式和本研究算法對如圖5 的圖形進行加工，圖中一端為原點的斜線為圖形加工前的過渡段，計入整個加工過程，并實際測試它們的加工時間和加工時的速度曲線，結果如圖6、7 所示.

圖5 工件加工圖形

圖6 直接過渡方法的速度曲線

圖7 本研究算法的速度曲線

圖6、7 顯示，采用直接過渡的方式進行加工的時間為29 063 ms，而采用本研究算法進行加工的時間為25 250 ms.相比于直接過渡的方式，本研究算法對加工效率的提升為13.12%.同時，從加工時的速度曲線來看，直接過渡的方式在各個拐角點處仍保持一定的進給速度，其加減速頻率明顯降低，整體速度有了大幅提高，但采用本研究算法時的速度曲線相比于直接過渡方法更為平滑，加減速頻率進一步降低，且平均速度也有了一定的提高，有效提升了加工效率.

4 結 論

本研究在分析現有小線段平滑過渡算法的基礎上，根據一般控制器的需求，首先建立過渡圓弧的數學模型，并以此推導基于過渡圓弧的小線段平滑過渡算法，最后采用固高GTS-400-PV 運動控制卡進行測試.通過與控制卡前瞻控制模塊所使用的直接過渡方式進行對比，可以看出該算法過渡平滑并實現簡單的特點，能夠在不影響加工質量的條件下有效地提升小線段加工的效率.

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