具有相同反射函數的微分方程類

周 堅，趙士銀

(宿遷學院 教師教育系，江蘇 宿遷 223800)

0 引 言

眾所周知，客觀世界中物體的運動規(guī)律通常可歸為研究時變微分系統(tǒng)，

的解的性態(tài).而在一般情況下，這并不是一件容易的事情.當系統(tǒng)(1)為周期系統(tǒng)時，即，

X(t +2ω，x)= X(t，x)，ω ＞0，

數學家Poincaré 和Lyapunov 提出了用變換法來研究該周期系統(tǒng)的解的性態(tài)，但對于有些周期系統(tǒng)，比如不可積系統(tǒng)，這種方法應用起來則非常困難.1981年，Mironenko［1－3］首先創(chuàng)建了反射函數理論，并借助反射函數這一最新工具來尋找周期系統(tǒng)(1)的Poincaré 映射，這為研究微分系統(tǒng)(1)，即使系統(tǒng)(1)為不可積系統(tǒng)，的解的幾何性質提供了新的方法.在此基礎上，周正新［4－7］對此作了深入研究，并取得了豐富的研究成果.結合反射函數的理論，可以看出不同的微分方程可能具有相同的反射函數，通過建立以同一個函數為反射函數的周期方程類，可以判斷這些方程的周期解是否具有相同的幾何性質.另外，為了探討一些帶擾動項的復雜微分方程的周期解的幾何性質，只需研究與其等價的較簡單微分方程的周期解的幾何性質［8－9］.所以，微分方程的等價性對于研究一些復雜微分方程的解的性態(tài)具有非常重要的意義.

1 預備知識

定義1［3］稱連續(xù)可微函數，F(t，x)= φ(－ t;t，x)，(t，x)∈D 為微分系統(tǒng)(1)的反射函數.由文獻［3］知，可微函數F(t，x)∶D →Rn為微分系統(tǒng)(1)的反射函數當且僅當它為偏微分方程，

的解，稱式(2)為關于反射函數的基本關系式.

引理1［3］(基本引理) 設微分系統(tǒng)(1)為關于t 的2ω-周期系統(tǒng)，F(t，x)為其反射函數，則系統(tǒng)(1)在［－ ω，ω］上的Poincaré 映射T(x)可以定義為，T(x)= F(－ ω，w)= φ(ω;－ ω，x)，從而系統(tǒng)(1)在［－ω，ω］上有定義的解，x(t)為2ω-周期解，當且僅當F(－ ω，x)= x.

定義2［3］若微分系統(tǒng)x·= Y(t，x)與微分系統(tǒng)(1)具有相同的反射函數，則稱它們是等價的，具有相同反射函數的微分系統(tǒng)稱為同一等價類.

引理2［3］若微分系統(tǒng)，

中，函數Δ(t，x)是偏微分方程，

的解，則方程(3)和微分系統(tǒng)(1)等價，其中，δ(t)是任意連續(xù)奇函數.

引理3［3］若方程(3)和微分系統(tǒng)(1)等價，它們都為2ω-周期系統(tǒng)，則它們的Poincaré 映射相同，且它們在［－ ω，ω］上有定義的解x(t)為2ω-周期解，當且僅當，F(－ ω，x)= x.

2 主要定理

考慮分式微分方程，

其中，αi(t)，βi(t)，(i = 0，1，2，3，t ∈R)連續(xù)可微，α0(t)α3(t)≠0.

為了討論方便，簡記，

定理1 若，

其中，

定理2 若定理1 的條件成立，且分式微分方程(5)為2ω-周期方程，則有，

①當a(－ ω)≠0 時，分式微分方程(5)存在2個2ω-周期解;

②當a(－ ω)= 0，b(－ ω)= 1 時，分式微分方程(5)存在無窮多個2ω-周期解;

③當a(－ ω)= 0，b(－ ω)≠1 時，分式微分方程(5)存在唯一一個2ω-周期解.

這樣，由F(－ω，x)= x，即，(b(－ω)－1－a(－ω)x)= 0，可得到要證的結論.

例1 分式微分方程，

研究微分方程之間的等價性對于探討某些復雜微分方程的周期解的幾何性質具有重要意義，文獻［5，8］已取得了一些很好的結果.在此基礎上，本研究探討當函數Δ(t，x)分別為，

Δ(t，x)= b0(t)+ b1(t)x + b2(t)x2，

與

a0a1≠0 時，方程(3)與方程(5)之間的等價性.

定理3 若函數bi(t)，i = 0，1，2 滿足以下條件:

則當，Δ(t，x)= b0(t)+b1(t)x +b2(t)x2，bi(t)為連續(xù)可微的函數時，方程(3)與方程(5)等價.

其中，c0、c1、c2均為任意常數，d1= α3β0－α0β3，d2=α1β3－α3β1，d3= α2β3－α3β2，d4= α2β1－α1β2，di+5= αiα3，(i = 0，1，2)，d8= α1β0－ α0β1，d9=d2，d10= d3.

此外，若方程(3)與方程(5)的系數均為2ω-周期的，那么二者具有相同的Poincaré 映射，其周期解的性態(tài)也相同.

證明 將函數，Δ(t，x)= b0(t)+ b1(t)x +b2(t)x2代入關系式(4)并比較等式兩端關于x 的同次冪的系數，即可推得定理結論.

同理可得.

定理4 設函數ai:= ai(t)，bj:= bj(t)，i = 0，1;j = 0，1，2，均連續(xù)可微且滿足以下條件:

b2= ca1

其中，d0= α0β3－α3β0，d1= α1β3－α3β1，d2= α2β1－α1β2，d3= α3β2－α2β3，di+4= αiα3，(i = 0，1，2)，d7= α1β0－α0β1，d8= α2β0－α0β2，d13= α3β3，dj+9= dj，(j = 0，1，2，3).

例2 分式微分方程，

等價于，

容易證出方程(6)具有反射函數F(t，x)=xesint.故方程(6)的Poincaré 映射可表示為T(x)=F(－ π，x)≡x.則方程(6)定義在［－ π，π］上的所有解都為2π-周期解.再由引理3 知，當δ(t)是以2π 為周期的連續(xù)可微奇函數時，方程(7)定義在［－π，π］上的所有解也為2π-周期解.

［1］Mironenko V I.Ordinary differential equation［M］.Moscow:Science Press，1971.

［2］Mironenko V I.On the method that allows one to determine the initial data of periodic solution of differential systems and to compare the mappings for a period［J］.Diff Eq，1980，14(11):1985－1994.

［3］Mironenko V I.Reflective function and periodic solution of the differential system［M］.Minsk:University Press，1986.

［4］Zhou Z X.The reflective function represented by three exponential matrixes［J］.Bull Kor Math Soc，2010，47(1):53－61.

［5］Zhou Z X.Equivalence of differential system［J］.Acta Math Appl Sin，2004，20(1):85－92.

［6］Zhou Z X.On the Poincaré mapping and period solutions of nonautonomous differential systems［J］.Pure Appl Ana，2007，60(2):541－547.

［7］Zhou Z X.On the relationship between quadratic polynomial differential system and the Bernoulli equation［J］.Appl Math Comp，2011，217(6):8716－8721.

［8］Zhou J.Differential systems with the same reflecting functions［J］.Appl Math Comp，2011，218(7):3144－3148.

［9］周堅.一類三次多項式微分系統(tǒng)的周期解［J］.應用數學，2014，27(2):426－432.