淺談初中數學教學中的變式訓練

李世春

摘 要：新課標要求以學生為中心，培養學生的創新能力，激發學習興趣，靈活運用知識解決問題。為了提高初中數學課堂教學有效性，在教學中恰當地實施變式教學，運用變式的方法是初中數學教師教學能力水平的基本要求和重要體現。變式教學訓練可以提高課堂教學效益，而且能向學生展現數學知識的無窮魅力，引導學生開闊視野，擴展思路，扎實掌握知識和方法，使數學變得生動有趣，讓學生覺得學數學是一種享受！

關鍵詞：變式 數學 教學 訓練

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）06（a）-0171-02

現代數學課程標準指出：數學教學不僅僅要使學生獲得數學基礎知識，基本技能，更要獲得數學思想和觀念，形成良好的數學思維品質，要通過各種途徑，讓學生體會數學思考和創造的過程，增強學習的興趣和自信心，不斷提高自主學習的能力。在數學教學中研究和運用變式，讓學生去偽存真，全面認識事物，對教師有效地傳授知識，突出本質特征，排除無關特征，提高數學教學質量有著現實的意義。變式教學充分挖掘學生的潛能，有效地培養學生的自學能力、探究能力和良好的學習習慣，促使學生的思維向多層次、多方向發散，幫助學生在問題的解答過程中去尋找解類似問題的思路、方法，從而真正把學生的創新意識和創新能力的培養落到實處。

（1）數學基礎知識、基本概念（定義、定理、性質、公式、法則）是解決數學問題并產生新問題的起點。在復習公式、定理的教學中，不要直接呈現現成的結論，而應充分利用特例、實驗等手段，設計系列問題變式。利用問題變式來明確定理、公式和法則的條件、結論、適用范圍、注意事項等關鍵之處，進而培養學生嚴密的邏輯推理論證能力和正確的演算能力，引發學生遐思綿綿，培養學生數學思維的靈活性和思考問題的深刻性。

如：甲、乙兩地相距162 km，一列慢車從甲站開出，每小時走48 km，一列快車從乙站開出，每小時走60 km試問：①兩列火車同時相向而行，多少時間可以相遇？

②兩車同時反向而行，幾小時后兩車相距270 km？

③若兩車相向而行，慢車先開出1 h，再用多少時間兩車才能相遇？

④若兩車相向而行，快車先開25 min，快車開了幾小時與慢車相遇？

⑤兩車同時同向而行（快車在后面），幾小時后快車可以追上慢車？

⑥兩車同時同向而行（慢車在后面），幾小時后兩車相距200 km？

通過這樣的變式訓練，防止了學生形式、機械地背誦和套用行程問題公式，提高了學生變通地思考問題的能力。

（2）習題是訓練學生的思維材料，是教者將自己的思想、方法以及分析問題和解決問題的技能技巧施達于學生的載體。利用習題變式訓練學生的思維，可以使學生在多變的問題中受到磨練，舉一反三，加深理解。

第一，一題多解，觸類旁通，培養學生思維的靈活性。

例如：已知：AB‖CD，請說明∠ABE、∠CDE、∠BED之間的數量關系。

每個圖形學生至少能想到3種不同方法解答，這樣開闊了學生的思路，使其熟練掌握知識的內在聯系。教學中我們可以積極地引導學生通過各種途徑，用多種方法思考問題，充分再現學生解題的思維過程，增加教學透明度。

在此基礎上，順勢提出問題，使學生思維更加深刻。通過上述問題解決的思路，請你用多種方法解決問題：已知AB∥CD，∠ABF=∠DCE。試說明：∠BFE=∠FEC。

這方面的例子很多，尤其是幾何證明題。我們在教學中一定要重視對這類題目的收集和比較，讓學生自己感悟出題目之間的內在聯系，形成一定的數學思想方法，從而培養學生數學思維的靈活性。

第二，多題一法，通過變式讓學生理解數學練習的內在聯系。

許多數學練習的解題思路和方法是一樣的，對這類題可以引導學生尋求通法通解，感悟它們之間的統一的思路和方法，形成數學思想方法，培養思維的深刻性。

例如：已知圓柱的底面周長是8 m，高AB是6 m，要從點A處開始繞圓柱一周建造梯子，正好到達A點的正上方B處，問梯子最短有多長？

變式1：葛藤是一種刁鉆的植物，它的腰桿不硬，為了爭奪雨露陽光，常常繞著樹干盤旋而上，它還有一手絕招，就是它繞樹盤升的路線總是沿最短路線—— 螺旋前進的，難道植物也懂數學？通過閱讀以上信息，解決下列問題：（1）如果樹干的周長為30 cm，繞3圈升高120 cm，則葛藤此時的長度是多少？（2）如果樹干的周長為80 cm，繞一圈爬行100 cm，它爬行10圈到達樹頂，則樹干高多少？

變式2：有一圓柱體，高4 cm，底面半徑5cm，A處有一螞蟻，若螞蟻想爬行到C處，求螞蟻爬行的最短距離。

變式3：一個三級臺階，臺階的每一級的長、寬和高分別是5 cm，3 cm、1 cm，A和B是臺階的兩個相對的端點，A點的一只小蟲要到B點去吃可口的食物。那么這只小蟲從A點出發，沿臺階面爬至B點，最短線路是多少？

變式4：一個無蓋的圓柱形玻璃杯，底面周長是18 cm，高是12 cm，杯口內壁離杯口3 cm的A處有食物，一只小蟲從桌上爬至杯子外壁，當它正好爬至食物相對方向離桌面3 cm的B處時，發現了食物。問小蟲至少爬多少厘米才能到達食物所在的位置。

變式5：在邊長為10的正方體中，一只小蟲從頂點A出發沿著正方體的外表面爬到頂點B，請求出小蟲爬行的最短距離。

變式6：實心長方體中，一只小蟲從頂點A出發，沿長方體的表面爬到對角頂點C1處，問怎樣走路線最短？最短路線為多少？

變式7：一直圓錐的母線長為QA=8，底面圓的半徑r=2，若一只小蟲從A點出發，繞圓錐的側面爬行一周后又回到A點，則小蟲爬行的最短路線長是 。

變式8：主視圖是等邊三角形的圓錐中，底面半徑是4 cm，若B點處有一小蟲沿圓錐表面爬行，那么它要想吃到母線AC中點P處的食物，需要爬行的最短路程是多少？

通過以上變式習題的設計，使學生充分理解：立體圖形上點點之間的距離最短問題，可以通過把立體圖形轉化為平面圖形，然后再運用“兩點之間，線段最短”來解決。“以直代曲”是處理“質點沿幾何體的表面曲線運動路徑最短”這一典型問題的重要辦法。

又如，同一方法思路的一系列題目：（1）一條直線上有2個點時，圖中有 條線段，一條直線上有3個點時，圖中有 條線段，一條直線上有4個點時，圖中有 條線段，一條直線上有n個點時，圖中有 條線段。

（2）同一平面內，兩條直線有 個交點，3條直線有 個交點，4條直線有 個交點，n條直線最多有 個交點。

（3）同一平面內，過一點能畫 條直線，過兩點能畫 條直線，過3點可以畫 條直線，過4點可以畫 條直線，過n點最多能畫 條直線。

這些問題，表面看來各不相同，但實質上的思維方式是相同的，因此可以用同一種思路來解決。

讓學生通過親自演算這樣的題組并作出相應的比較，可以透表求里，自覺地學會從本質上去看問題和分析問題，從而培養學生思維的深刻性。

（3）一題多變，總結規律，培養學生思維的探索性。

通過變式教學，可以遏制“題海戰術”，培養學生探索意識，開拓學生解題思路，達到“以少勝多”的境界。常用方法有：變換命題的條件與結論；保留條件，深化結論；減弱條件，加強結論；探討命題的推廣；考查命題的特例；生根伸枝，圖形變換；接力賽，一變再變；解法的多變等。

例如：已知平行四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD交于點O，點E、點F分別是OA、OC的中點。說明四邊形BFDE是平行四邊形。

變式1：已知：E、F是平行四邊形ABCD對角線AC上的兩點，當E、F兩點滿足什么條件時，四邊形BFDE是平行四邊形。

變式2：若點E、點F是平行四邊形ABCD的對角線AC延長線上的兩點，且滿足AE=CF，則四邊形BFDE是平行四邊形嗎？請同學們畫出圖形并證明。

變式3：平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD的中點。四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？

變式4：在ABCD中，已知兩條對角線相交于點O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO的中點，以圖中的點為頂點，盡可能多地畫出平行四邊形。

變式5：已知：點E、點F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，若BE∥DF，那么四邊形BFDE是平行四邊形嗎？“BE ∥DF”還可以變為什么條件？

變式1通過判定方法的選擇使學生充分感悟—— 在已知條件出現“對角線上截取相等的線段”時，選擇“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”最簡單，通過對比使學生明確要根據題中所給的已知條件選擇合適的證明方法。變式2考察學生逆向思維能力、動手操作能力動手作圖能力和獨立嚴謹的思維能力。變式3、4、5是對前面方法的綜合體現，學生開拓的思維，促成對本部分內容的充分理解與升華，綜合了性質與判定打開思維的閘門。

數學的思想方法大多都隱藏在例題或習題中，教學中我們要重視對例題、習題的變式和引申，善于對習題做必要的挖掘，把分散的知識串成線，從而有利于對知識的建構。

數學課堂教學中，我們要遵循學生認知發展的規律，根據教學的內容和目標加強必要的變式訓練，對鞏固基礎知識、培養思維、提高能力有重要的作用。特別是變式訓練能培養培養學生敢于懷疑，敢于思考，敢于聯想的品質，培養學生自主探究的能力與創新精神。自然，教學中變式題最好以教材為源，以學生為本，充分體現“源于課本，高于課本”，并在日常教學中滲透到學生的學習中去。讓學生也學會去“變題”，讓學生自己去探索、分析、綜合，以其提高學生的數學素質。

參考文獻

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