李歡鋒，李小虎，張燕飛，吳文武，趙宏

(西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，西安 710049)

摩擦生熱和接觸疲勞壽命是角接觸球軸承設(shè)計(jì)過(guò)程中需要重點(diǎn)考慮的2個(gè)性能指標(biāo)，不恰當(dāng)?shù)妮S承幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)會(huì)直接影響軸承的生熱和疲勞壽命，故軸承設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)選取非常關(guān)鍵。文獻(xiàn)[1]對(duì)高速球軸承的摩擦生熱進(jìn)行了計(jì)算，研究了轉(zhuǎn)速、外部軸向載荷和內(nèi)溝曲率系數(shù)對(duì)軸承生熱的影響，但沒(méi)有考慮軸承接觸應(yīng)力的影響。

文獻(xiàn)[2]根據(jù)Hertz接觸理論，認(rèn)為減小滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈間的最大接觸應(yīng)力可以顯著提高軸承疲勞壽命。文獻(xiàn)[3]研究了軸承的接觸應(yīng)力,并得到了軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)疲勞壽命的影響。文獻(xiàn)[4]將軸承的自旋摩擦生熱作為軸承優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，對(duì)軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了分析。然而，軸承自旋摩擦生熱僅是軸承生熱的一部分，還需考慮軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其他摩擦生熱的影響，只有這樣才能實(shí)現(xiàn)最終的優(yōu)化目標(biāo)。

下文基于軸承擬靜力學(xué)模型和局部法生熱模型，對(duì)軸承內(nèi)外圈接觸應(yīng)力和生熱進(jìn)行了計(jì)算，并分析了不同外載荷和轉(zhuǎn)速下，軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其生熱和接觸應(yīng)力的綜合影響，然后以這2個(gè)性能為目標(biāo)來(lái)選取角接觸球軸承的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)。

1 軸承內(nèi)部載荷參數(shù)計(jì)算模型

1.1 軸承內(nèi)部載荷分布計(jì)算

角接觸球軸承在軸向載荷Fa、徑向載荷Fr和彎矩M作用下，內(nèi)外圈之間會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的軸向位移δa、徑向位移δr和轉(zhuǎn)角θ(圖1)。

圖1 軸承受力位移示意圖

軸承在運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，各球體不僅受到內(nèi)外圈的接觸力Qij和Qej，還會(huì)受到因球轉(zhuǎn)動(dòng)所帶來(lái)的離心力Fcj和陀螺力矩Mgj，同時(shí)各球與內(nèi)外圈的接觸角也由初始接觸角α0分別變?yōu)棣羒j和αej，球的受力情況如圖2所示。

圖2 角位置ψj處球受力及接觸區(qū)示意圖

在某一給定球位置上，如果軸承轉(zhuǎn)速較高，球的離心力會(huì)使外圈上的接觸載荷劇增并導(dǎo)致“外溝道控制”，那么就可以假設(shè)球與外溝道接觸處球的陀螺力矩完全被摩擦力抵消，這幾乎不影響計(jì)算精度。轉(zhuǎn)速較低時(shí)則需將陀螺力矩由球與內(nèi)外溝道的接觸區(qū)域平分， 因此，圖2中對(duì)外溝道控制，取λij=0，λej=2；否則取λij=λej=1。其中，λij和λej分別為內(nèi)、外溝道控制系數(shù)；ψj為第j個(gè)球與第1個(gè)球之間沿順時(shí)針的夾角。為了求出δa，δr和θ的值，需要建立整個(gè)軸承內(nèi)圈與外力的平衡方程[5]

(1)

(2)

cosψj=0。

(3)

1.2 軸承內(nèi)外圈接觸應(yīng)力計(jì)算

基于Hertz彈性接觸理論，可以對(duì)軸承接觸應(yīng)力和變形進(jìn)行計(jì)算，并能得到橢球形彈性體相互擠壓時(shí)接觸面形狀、大小和表面應(yīng)力分布。采用軸承內(nèi)部載荷計(jì)算模型，求解擬靜力學(xué)方程(1)～(3)可以計(jì)算各個(gè)方位角上球與內(nèi)外圈的接觸角αij和αej，接觸載荷Qij和Qej，接觸橢圓尺寸aij，aej，bij，bej及接觸變形δij和δej等參數(shù)。根據(jù)上述計(jì)算的接觸參數(shù)，通過(guò)(4)式[5]便可得到軸承的接觸應(yīng)力為

(4)

式中：a為接觸橢圓長(zhǎng)半軸；b為橢圓短半軸；x,y為橢圓區(qū)域笛卡爾坐標(biāo)系中點(diǎn)的位置。圖2中給出了球與內(nèi)圈的接觸橢圓尺寸。由(4)式可知，對(duì)于橢圓接觸區(qū)域，軸承最大接觸應(yīng)力位于球與內(nèi)、外溝道的接觸橢圓中心位置處，然后從中心點(diǎn)到兩側(cè)接觸應(yīng)力逐漸變小，最大接觸應(yīng)力σmax=3Q/(2πab)。

2 軸承生熱計(jì)算模型

采用局部法計(jì)算軸承生熱，即考慮每個(gè)球與溝道之間接觸摩擦導(dǎo)致的生熱。根據(jù)軸承各單元的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系單獨(dú)計(jì)算每個(gè)接觸單元間的局部生熱，確定軸承各熱源及接觸區(qū)域的生熱大小，其計(jì)算結(jié)果更接近實(shí)際工況。文中使用的生熱計(jì)算模型主要考慮了滾動(dòng)接觸面上的差動(dòng)滑動(dòng)摩擦生熱HBRC和溝道接觸區(qū)的自旋摩擦生熱HS，這2部分生熱在軸承摩擦生熱中占比很大，而忽略了保持架與球之間滑動(dòng)摩擦等導(dǎo)致的生熱。

2.1 滾動(dòng)接觸面上的差動(dòng)滑動(dòng)摩擦生熱

在分析軸承各球受力與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)后，分別計(jì)算每個(gè)球接觸區(qū)域的接觸力、接觸變形、接觸表面摩擦切應(yīng)力以及球與內(nèi)外圈的相對(duì)滑動(dòng)速度，進(jìn)而對(duì)球表面摩擦切應(yīng)力和相對(duì)滑動(dòng)速度的乘積在整個(gè)接觸區(qū)域內(nèi)進(jìn)行積分，便可得到各球接觸區(qū)域的局部生熱量，對(duì)所有球的局部生熱疊加后，就可得出整個(gè)軸承的差動(dòng)滑動(dòng)摩擦生熱HBRC。

在球與溝道接觸中，在接觸橢圓區(qū)域長(zhǎng)軸方向，摩擦生熱率由下式計(jì)算[5]

(5)

在接觸橢圓的短軸方向

(6)

式中：J為由(N·m)/s到W的轉(zhuǎn)換常數(shù)；τnyj,τnxj為表面摩擦切應(yīng)力，MPa；vnyj,vnxj為滑動(dòng)速度，m/s；Anj為接觸區(qū)面積,m2；anj,bnj為接觸橢圓長(zhǎng)、短半軸,m。下標(biāo)n=i，e分別表示軸承內(nèi)、外圈;j=1,2,…,Z。

接觸區(qū)內(nèi)任意一點(diǎn)(x,y)表面摩擦切應(yīng)力為

(7)

式中：μ為平均摩擦因數(shù)；Q為法向接觸載荷，N。

整個(gè)軸承差動(dòng)滑動(dòng)摩擦生熱為

(8)

2.2 溝道接觸區(qū)的自旋摩擦生熱

當(dāng)軸承轉(zhuǎn)速較高時(shí)，球沿內(nèi)外溝道繞接觸面法線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)，引起球自旋摩擦，這是不可忽視的一部分摩擦生熱[6]。軸承自旋摩擦生熱為

Hsj=ωsiMij+ωseMej，

(9)

(10)

式中：ωsi，ωse為球繞接觸面法線(xiàn)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)(即自旋運(yùn)動(dòng))的角速度；Mij和Mej為球與內(nèi)、外溝道接觸區(qū)自旋摩擦力矩；μi，μe為球與內(nèi)、外溝道接觸區(qū)摩擦因數(shù)；Qij，Qej為球與內(nèi)、外圈法向接觸載荷；aij，aej為內(nèi)、外溝道Hertz接觸橢圓長(zhǎng)半軸；L(e)ij，L(e)ej為內(nèi)、外溝道接觸區(qū)的第二類(lèi)橢圓積分。

整個(gè)軸承的自旋摩擦生熱為

(11)

3 實(shí)例計(jì)算與結(jié)果分析

3.1 軸承計(jì)算程序的驗(yàn)證

總結(jié)上述在外載荷作用下角接觸球軸承位移、接觸變形及摩擦生熱的計(jì)算過(guò)程，編寫(xiě)相應(yīng)的程序進(jìn)行計(jì)算。為了說(shuō)明采用擬靜力學(xué)程序計(jì)算軸承接觸參數(shù)和生熱的有效性，使用了7008C型角接觸陶瓷球軸承。軸承內(nèi)徑d=40 mm；軸承外徑D=68 mm；球徑Dw=7 mm；球數(shù)Z=18；初始接觸角α0=15°，潤(rùn)滑脂40 ℃時(shí)的運(yùn)動(dòng)黏度為20 mm2/s。在軸向載荷Fa=500～2 000 N，徑向載荷Fr=0，彎矩M=0，轉(zhuǎn)速為0 ～15 000 r/min條件下，計(jì)算了球與內(nèi)、外圈之間的接觸角和軸向位移，計(jì)算結(jié)果如圖3和圖4所示。對(duì)比Harris中角接觸球軸承在軸向載荷下接觸角的變化和軸向位移的變化[5]可以看出，采用擬靜力學(xué)程序所計(jì)算的7008C軸承接觸角隨軸向載荷和軸向位移的變化趨勢(shì)與Harris對(duì)應(yīng)圖中的變化趨勢(shì)相吻合，這說(shuō)明文中采用的軸承擬靜力學(xué)計(jì)算程序是有效的。

圖3 球與內(nèi)、外圈接觸角隨軸向載荷的變化情況

圖4 軸向位移隨軸向載荷的變化趨勢(shì)

3.2 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)軸承生熱和接觸應(yīng)力的影響

使用上述經(jīng)驗(yàn)證的程序，按表1并采用控制變量的方法，在僅改變某一種軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)，而其他結(jié)構(gòu)參數(shù)保持不變的條件下，通過(guò)計(jì)算分析內(nèi)溝曲率系數(shù)fi、外溝曲率系數(shù)fe、球徑和球數(shù)對(duì)軸承(在軸向載荷Fa=500 N，徑向載荷Fr=500 N，彎矩M=2.0 N·m下)生熱和接觸應(yīng)力的影響。

不同轉(zhuǎn)速下，內(nèi)溝曲率系數(shù)fi分別對(duì)軸承生熱和內(nèi)圈接觸應(yīng)力的影響規(guī)律如圖5所示(虛線(xiàn)表示內(nèi)圈接觸應(yīng)力，實(shí)線(xiàn)表示軸承生熱)。從中可以看出，隨著fi的增大，軸承生熱不斷減小；轉(zhuǎn)速較低時(shí)，fi對(duì)軸承生熱影響較小，但轉(zhuǎn)速較高時(shí)影響則十分明顯。

表1 7008C軸承計(jì)算工況及結(jié)構(gòu)參數(shù)表

圖5 fi對(duì)軸承生熱和內(nèi)圈接觸應(yīng)力的影響

然而，隨著fi增大，球與內(nèi)圈接觸應(yīng)力亦不斷增大，這主要是因?yàn)樵龃骹i相當(dāng)于降低了球與內(nèi)溝道接觸的密合度，減小了內(nèi)圈接觸面積，使得軸承自旋生熱與總生熱減小，但也使內(nèi)圈的表面接觸應(yīng)力增大。當(dāng)fi=0.53時(shí), 球與內(nèi)圈接觸應(yīng)力約為1 430 MPa；當(dāng)fi=0.62時(shí), 球與內(nèi)圈接觸應(yīng)力高達(dá)1 950 MPa。顯然，過(guò)大的接觸應(yīng)力會(huì)直接影響軸承內(nèi)圈的接觸疲勞壽命。因此，通過(guò)設(shè)定軸承生熱和內(nèi)圈接觸應(yīng)力的變化范圍，就能得到較優(yōu)取值的fi。

fi對(duì)球與外圈接觸應(yīng)力的影響如圖6所示，可以看出，改變fi對(duì)外圈接觸應(yīng)力的影響不大。

圖6 fi對(duì)外圈接觸應(yīng)力的影響

不同轉(zhuǎn)速下外溝曲率系數(shù)fe對(duì)軸承生熱和外圈接觸應(yīng)力的影響如圖7所示(虛線(xiàn)表示外圈接觸應(yīng)力，實(shí)線(xiàn)表示軸承生熱)。從中可以看出，隨著fe的增大，軸承生熱逐漸減小，但不是很明顯。然而，球與外圈的接觸應(yīng)力隨著fe的增大卻顯著增大。當(dāng)fe=0.59時(shí)，軸承外圈接觸應(yīng)力高達(dá)約1 650 MPa，約是fe=0.5時(shí)的1.7倍。但由圖8可知，fe對(duì)軸承內(nèi)圈接觸應(yīng)力影響比較小，因此，綜合考慮fe對(duì)軸承生熱和外圈接觸應(yīng)力的影響，應(yīng)盡量選取較小的fe，并且要與fi相匹配。

圖7 fe對(duì)生熱和外圈接觸應(yīng)力的影響

圖8 fe對(duì)內(nèi)圈接觸應(yīng)力的影響

球徑Dw和球數(shù)Z對(duì)軸承生熱的影響分別如圖9和圖10所示。可以看出，隨Dw增大，軸承生熱略有增加；隨Z增大，軸承生熱略有減少，不過(guò)在轉(zhuǎn)速較低時(shí)這種趨勢(shì)并不明顯。

圖9 球徑對(duì)軸承生熱的影響

圖10 球數(shù)對(duì)軸承生熱的影響

3.3 外載荷和fi對(duì)軸承性能的影響

上述結(jié)果表明，相對(duì)于其他結(jié)構(gòu)參數(shù)，fi對(duì)軸承生熱有很大影響，故下面僅在某一轉(zhuǎn)速下，研究不同的fi和載荷對(duì)軸承生熱和接觸應(yīng)力的影響。轉(zhuǎn)速為9 000 r/min條件下，fi為0.57～0.63時(shí)，軸承生熱和內(nèi)圈接觸應(yīng)力隨軸向載荷Fa、徑向載荷Fr和彎矩M的變化規(guī)律分別如圖11～圖13所示(虛線(xiàn)表示接觸應(yīng)力，實(shí)線(xiàn)表示軸承生熱)。

圖11 軸承生熱和內(nèi)圈接觸應(yīng)力隨Fa的變化

圖12 軸承生熱和內(nèi)圈接觸應(yīng)力隨Fr的變化

圖13 軸承生熱和內(nèi)圈接觸應(yīng)力隨M的變化

從圖11可以看出，當(dāng)fi為定值時(shí)，隨著Fa的增大，軸承生熱和內(nèi)圈接觸應(yīng)力均會(huì)逐漸增加。在圖12和圖13中，fi為定值時(shí)，隨著Fr或M的增大，內(nèi)圈接觸應(yīng)力逐漸增加，而軸承生熱則是略有增加。同外載荷作用相比，fi的變化使軸承生熱和內(nèi)部接觸應(yīng)力變化比較顯著。從3個(gè)圖中均可看出，當(dāng)fi選擇較大值，如0.63時(shí)，軸承生熱較小，而內(nèi)圈接觸應(yīng)力卻顯著增大；然而，當(dāng)fi取值為0.57時(shí)，均可使軸承生熱和內(nèi)圈接觸應(yīng)力比較低，且在許可的范圍內(nèi)變化較小，這與檢測(cè)7008C軸承得到的內(nèi)溝曲率系數(shù)相一致。因此，通過(guò)計(jì)算軸承的生熱和接觸應(yīng)力并確定其取值范圍，便可以求出較優(yōu)的內(nèi)溝曲率系數(shù)。

4 結(jié)論

(1)較大的內(nèi)溝曲率系數(shù)能減小軸承的生熱，但會(huì)使球與內(nèi)圈的接觸應(yīng)力顯著增大，這將降低軸承的接觸疲勞壽命。因此，綜合考慮軸承的生熱和接觸應(yīng)力，可以選定一個(gè)較優(yōu)的內(nèi)溝曲率系數(shù)，使得生熱和接觸應(yīng)力都較小。

(2)外溝曲率系數(shù)對(duì)軸承生熱影響不大，但較大的取值會(huì)使球與外圈的接觸應(yīng)力顯著增大，故應(yīng)該選取較小的外溝曲率系數(shù)，且應(yīng)與內(nèi)溝曲率系數(shù)相匹配。

(3)在軸承主要的結(jié)構(gòu)參數(shù)中，與外溝曲率系數(shù)、球徑及球數(shù)相比，內(nèi)溝曲率系數(shù)對(duì)軸承生熱的影響最為顯著。