關于向量在解決高中數學問題中的應用研究

李卓潔

摘要：向量是高中數學中應用廣泛實用性極強的一部分內容，其數與形結合的特點，使其成為了高中數學課程中最為重要的教學內容和解題手段。高中數學多個部分的知識可以通過向量有機地串聯起來，形成一個統一的整體。對于此，本文從向量的基本特點出發，著重分析向量在高中數學解題中的實際應用。

關鍵詞：向量；高中數學；解題應用

向量在數學中的定義是具有大小和方向的量，存在可移動性。作為高中數學中重要的知識點，不僅可以給學生帶來新的認識，還可以為學生提供新的解題方法，更可以加強教師的課堂教學效果。因此，在實際數學問題中，加強對向量的應用研究尤為重要。

一、向量的內涵

向量進入數學領域是在二十世紀，但其在十九世紀就已經被物理學家和數學家進行了研究應用。我國在二十世紀九十年代將向量的相關知識納入了高中數學，成為了高中數學的重點。向量中集合以V表示，V構成了向量的加法換算群。在V中，運算出向量的數量積就可以表達向量的長度，在向量長度具有實際意義之后，（V，R）對向量相關的運算構成了線性范圍。其是數學建模的基礎，也是其別類別代數的主要研究對象。因此，向量可以解決多方面的數學難題。向量具備了形和數的特點，將數和形聯系成一體。其可以表示物體的位置，也可以反映物體的面積長度等基本性質。對于一些抽象性的問題，向量更可以將其具象化，形成直觀的模型，便于問題解決。

二、向量在高中數學問題中的應用分析

（一）向量在平面幾何中的應用

向量的大小和方向可以反映相關線段或點之間的長度關系以及位置關系。向量根據不同的性質還可以分為平行向量、共線向量和零向量等。在平面幾何中，利用向量知識來解決相關問題，比運用幾何知識解決問題要更加方便。

舉例來說，已知三角形MOA的三個頂點坐標分別為M（-3，1），O（2，0），A（0，-2），線段AO、AM、OM的中點分別為B、C、D，求解相關直線BC、CD、BD的方程。對于這個問題，運用向量知識可以輕松解決。首先可以得出點B坐標為（1，-1），點C坐標為（-1.5，-0.5），點D坐標為（-0.5，0.5）。再求解BC直線方程，設點H（x，y）為BC上一點，則向量BH和BC平行且共線，通過平行關系即可求解出BC的直線方程。同理可解得直線CD、BD的方程。通過將線段轉化為向量，再利用向量的相關知識，就輕松解決了問題。在平面幾何問題中運用向量時，一定要將點和線之間的關系對應清楚，否則會導致結果錯誤。

（二）向量在不等式證明中的應用

證明條件不等式或者不等式，經常需要通過一些技巧對不等式進行變形處理，否則會很難證明。此時運用向量知識來進行相關變形處理，則會令問題簡化，容易證明結果。

舉例來說，有等式（a2+b2）（m2+n2）=（am+bn）2，其中mn不等于0，求證a/m=b/n。對于這個問題，只要細心觀察等式就能發現括號中的部分與向量的模以及數量積是一樣的。因此可以設向量P=（a，b），向量Q=（m，n），通過式子可以看出P和Q之間是平行關系。所以，通過平行向量的特點可以得出an-bm=0，再進行變換就可得a/m=b/n的結果。所以，在不等式證明中將相關數字轉化為向量，可以將抽象的關系轉化為具象的向量的關系，從而輕松得出結果。在不等式證明中應用向量時，一定要仔細觀察不等式的基本特點，找出向量的切入點，再加以運用。

（三）向量在解方程中的應用

方程解析在高中數學中也是很常見的問題，對于某些方程而言，直接通過技巧變形很難解出方程，這時就可以考慮使用向量法來解決問題。

舉例來說，已知x，y，z可以同時使方程2x+3y+z=13和4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82成立，求實數x，y，z的值。對于這個問題，若直接用方程解析的方法很難解出答案，這時就可以運用向量法來簡化問題。首先將兩個方程相加，再對方程兩端進行配方可以得到（2x）2+（3y+3）2+（z+2）2=108；仔細觀察式子就可以發現該式與向量模一致，則可以設向量P=（2x，3y+3，z+2；，向量Q=（1，1，1），經過計算可得P的模值為6[3]，Q的模值為[3]，向量PQ=18；又因為PQ≤|P||Q|=18，并且只有當2x=3y+3=z+2>0時，該不等式才成立。根據這些條件就可以得出方程的解。

（四）向量在三角函數中的應用

三角函數是高中數學的重難點內容，也是高考的必考內容。通過向量數量積，可以將向量與三角函數有機結合起來，為三角函數相關問題提供便利的解決方式。

舉例來說，已知cosa+cosb-cos（a+b）=3/2，求解a，b的值。根據相關三角函數公式，可以對原式進行變形，可以得到（1-cosb）cosa+sinasinb=3/2-cosb。仔細觀察該式就可以發現其與向量數量積一致，則可以設向量P=（1-cosb，sinb；，向量Q=（cosa，sina），將兩向量相乘可得PQ=3/2-cosb，|P||Q|=[2-2cosb]；再根據相應關系可得|3/2-cosb|≤[2-2cosb]，相應可以得出cosb=1/2，即角b=600，再將其帶入原式，可以得到角a的值。在三角函數的問題中應用向量法，可以簡化三角函數的變形步驟，具象三角函數之間的關系，將復雜的問題化為簡單的向量，大大提高了解題的效率。

結束語：

向量在高中數學中來說，具有極大的實用性，從平面幾何到空間幾何，從三角函數到方程不等式，都可以應用向量的相關知識來簡化問題。教師在實際教學中應當以向量的實際應用方法展開相關教學，不斷提升教學效率和質量。

參考文獻：

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