基于原始分轉換及層次分析法的學生綜合評價模型

盧里舉 高廣偉

【摘要】本文建立了綜合評價模型。首先建立均值貢獻函數模型進行評價；其次，考慮到該模型的不足，利用極差，建立分數百分制轉換模型，將5項指標原始分進行轉換，并引入層次分析法，對各項指標進行賦權，得到綜合評價的最終結果。

【關鍵詞】學生綜合評價 均值貢獻函數 百分制轉換函數 層次分析法 賦權

【基金項目】本文系學院院長基金教研教改項目，項目編號JG201301005。

【中圖分類號】G71 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）03-0243-02

一、問題提出

為了對某年級中20位學生進行綜合評價，考察其中主要5項指標：德育、智育、體育、能力和英語四級考試總分（原始的分表此處略去）. 然而考慮到每個指標各自的評價系統是不一致的，因此很難通過直接求和或取均值的形式進行綜合評定。另一方面，即使是統一地采取百分制計分，由于學科屬性的不同、學科所需學時的差異等各種因素，也很難用求和的形式進行評價，這類問題廣泛存在，因此建立一個良好的、公平、公正的評價體系是必要的。

二、模型假設

1.待評價的學生數量是有限的，總人數為N；2.綜合考察的指標量為P，其中P較大但小于9（如果p超過9，可以考慮利用主成分分析法，將其中若干指標綜合成新的指標，以減少評價過程中的計算量）3.每個指標的評價體系之間是相互獨立的，互不影響；4.每個指標分數單位不全相同；5.每個指標的評價都能反映出該生在本項指標的真實情況。

三、模型建立于求解

1.均值貢獻函數模型 為了讓每個指標的評價值具有可加性，需要對原始分值進行無量綱化處理。設xij表示第i個學生的第j指標的原始分數，其中1≤i≤N，1≤j≤p.xj表示第j指標的平均值，則xj=■■xij.對均值貢獻函數記為rij，于是可以建立對均值貢獻的數學模型：rij=■.這里貢獻函數是非負的，即rij≥0對任意的1≤i≤N，1≤j≤p。貢獻函數是量綱為1的量，若01則表示相應的指標的貢獻作用是增加均值。均值貢獻函數模型，可以有效減少“大數吃掉小數”等問題。

2.基于均值貢獻函數建立的綜合評價模型 假設，每項指標對綜合評價的貢獻率是一樣的。在此基礎上，建立綜合評價模型：ti=■■rij.其中：ti表示第i個學生的各項指標平均分。

對所有的指標平均分進行排序，即可得到每個學生的綜合名次。

該模型簡易方便，容易操作，不會因為所考察的指標、學生數量增多而大量增加計算量。不足在于：（1）如果同一指標下的取值都比較接近時，貢獻函數都接近于1，考慮到小數的截尾誤差，其結果也就難以區分。容易導致因近似計算而導致結果的不穩定現象； （2）由于計算出來的數量都比較小，其數值容易誤讀；（3）其結果難于讀懂，因此，模型不易進行推廣，尤其不易公開公布；（4）每項指標一致看待，這也是有欠考慮的。

四、模型改進

鑒于此，對模型進行改進，利用極差的方法進行改進，并采取百分制系統。設每項指標的分數值是不全相同的，即最大值總是嚴格大于最小值。（如果某個指標的分數值完全相同，則認為是無效數據）。假定參評者的百分制成績折合計算后，最低分為60，最高分為100.

引入百分制轉換函數：定義uij=■？鄢40+60. 1≤i≤N，1≤j≤p.顯然：（1）60≤uij≤100.（2）60=uij？圳xij=■xij.100=uij？圳xij=■xij.（3）ui■j

如果考慮到每項指標影響力是一致的，那么對轉換后的分數值可以采取平均分綜合評價模型：Ui=■■uij=uij，其評價結果呈現效果更佳。

另外，考慮到每項指標對總評的貢獻是不同的。例如，對于不同學科，其要求的某項素質可能會更高，那么在該項目的重視程度就會更高。由此，引入指標項的權重qj，進行賦權綜合評價。即綜合評價分模型為：Ti=■qj？鄢uij；■qj=1.

對于此，可建立層次分析法模型，對不同的權重進行設置.

1.建立層次分析的層次結構 假設：（考慮到不同院系的具體情況）此處僅以問題中所提到的5項指標作為考察對象。其中目標層：合理分配指標；準則層：學生學習積極性、學風校風建設、整體教學水平、校企合作；方案層：德育、智育、體育、能力、英語。

2.計算相關特征 分別記成對比較矩陣為A，B1，B2，B3，B4，B5.

以A=■為例（此處略去其他的矩陣的相關特征計算），A的最大特征根為4.03414，CR=■=0.0126其對應的歸一化特征向量為：w=（0.1842，0.5263，0.2018，0.0877）T.記Wij=（w1，...，wn），則Q=（q1，...，qn）=Wijw.故而有：Q=（q1，...，qn）=Wijw=（0.42，0.23，0.06，0.10，0.19）.此外，還應該做總體的一致性檢驗（此處略去）.如果■qi=q■表示第i0指標的貢獻是最大的。以本案為例，綜合評價中著重強調德育建設。

五、模型評價

利用賦權法進行綜合評價，其適用性范圍得到極大的推廣，然而層次分析法也有其局限性。對于不同的院校、專業、對象等，其成對比較矩陣都將發生變化，即使是同一個院校，在不同的發展時期，其成對比較矩陣也可能變化。因此，權重的設置要依實際情況而定。

參考文獻：

[1]楊啟帆. 數學建模. 高等教育出版社， 2012.

[2]韓明等. 數學建模案例. 同濟大學出版社， 2012.

[3]徐全智等. 數學建模. 高等教育出版社， 2008.

[4]姜啟源. 數學模型. 高等教育出版社， 2001.