東、西方數學的碰撞

景麗敏

【摘要】在人教B版的數學教材中，必修3的第一章向我們介紹了中國古代數學中的算法案例。這幾個案例讓我們認識到在計算機科學迅速發展的今天，東方的“算學”越來越多的呈現在世人的面前。與此同時，人們不得不承認進入計算機時代，東方的“算學”恰好是符合時代要求的。他是這個時代最適合的，也是最現代的數學。自此，東方數學漸漸的走出了西方數學（現代數學）的陰影，走到了人們的面前。本文試圖以劉徽割圓術和阿基米德的拋物弓形求積法為例來比較分析東西方數學的異同點。全文分為三部分，首先介紹劉徽割圓術，然后介紹阿基米德及物弓形求積法，最后將以二者為例對東、西方的數學做以對比和分析。

【關鍵詞】算學 劉徽 割圓術 阿基米德 拋物弓形求積法 算法

【中圖分類號】G52 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）03-0138-01

本文將分別介紹我國偉大數學家劉徽的割圓術和古希臘的“數學之神”阿基米德的拋物弓形求積法。以二者為例來比較分析東、西方數學的區別和聯系。下面將先對劉徽割圓術做個簡單的介紹。

1.劉徽割圓術

如圖一，設BC為圓內接正n變形的一個邊。平分BC弧于A，則BA，AC均為圓內接正2n邊形的一邊。半徑OA與BC接于Q。在原內接正多邊形任一邊BC之外，尚有余出的一段AQ，AQ稱為“余經”。在直角三角形OQC中OC為直徑，CQ為圓內接正n邊形邊長的一半。故可據勾股定理求出OQ，OQ=■。于是，余經AQ亦可求。AQ=OA-OQ。在直角三角形AQC中，又可按勾股定理求出AC，AC=■，AC就是圓內接正2n邊形的邊長。每次把邊數加倍，仿此推算，利用這種循環的算法，劉徽求出了圓內接正96邊形的邊長。又因為OA×BC等于四邊形OBAC面積的2倍。而圓內接正2n邊形的面積等于■·DA·BC。

由此可見，據圓內接正n邊形的邊長和圓的半徑，即可求出圓內接正2n邊形的邊長和面積。這個割圓過程能連續不斷地連續做下去。又BC×AQ即為以BC為底，AQ為高形成的長方形面積，有一部分在BC弧外。然而，當無限等分圓周使內接正多邊形與圓相合時，余經消失，弧外部分的面積便為零。設S為圓面積，Sn表示圓內接正n邊形面積，S2n為圓內接正2n邊形的面積。則

n·BC×AQ=2（S2n-Sn）

Sn+2（S2n-Sn）=S2n+（S2n-Sn）>S

即 S2n

式中（S2n-Sn）稱為“差冪”。當n很大時，差冪就很小，因而S2n很接近S。當n無窮大時，（S2n？鄴Sn）就是無窮小（趨近于零）。所以S2n接近于S。劉徽從圓內接正六邊形算起，相繼推算出正192邊形的面積S192=314.■方寸。由于圓半徑等于單位長，為了計算方便，可以舍去S192中分數部分就不難推算出圓周率π=3.14。劉徽得到π的值是3.1416.

2. 阿基米德拋物弓形求積法

如圖（二），設QPq是弓形，并設PV是直徑，它平分弓形中所有平行與底邊Qq的弦。因而V是Qq的中點，從直觀上顯然可以看出，并在前面的命題中證明：P處的切線平行于Qq，其次作QR及qS平行于PV。于是三角形QPq是平行四邊形QRSq的一半。所以三角形QPq大于拋物弓形的一半。所以三角形QPq大于拋物弓形的一半。

作為這個定理的一個推論，阿基米德證明拋物弓形可用一個多邊形任意接近。若在PQ所割出的弓形里（其中P1，V1是該弓形的直徑）作一三角形后，可用簡單的幾何證明：三角形PP1Q的面積=（1/8）三角形PQq的面積。因此，三角形PP1Q和作在Pq上的三角形PP′1Q（它也有三角形PP1Q那樣的性質）合在一起是三角形PQq的1/4；而且根據上一段的結果，這兩個較小三角形填滿所在的拋物弓形的一半以上。在新弦Q P1，P1P，P P′1和P′1q上作三角形的過程可以繼續下去。就是說，現在可以說，拋物線弓形可用這樣的多邊形面積來逼近。他是在原來的三角形PQq上加添一系列三角形而得到的。

即可以用面積：

△PQq+（1/4）△PQq+（1/6）△PQq+…+ （★）

中取有限項來逼近；換言之，弓形（★）式中取有限項之和的差可以弄的比任何預先指定的量小。設

A1=△PQq，A2=■△PQq，A3=■△PQq，…，An=■△PQq

所以直到n級的三角形面積和為：

In=A1+A2+A3+…An

=A1（1+■+■+…+■）

=A1·■=■A■-■·■A■=■A■-■A■

所以有：A1+A2+A3+…An+■An=■A1 （☆☆）

由此，取有限項之和得出結論，幾何證明成立。

3.比較分析

3.1分化背景的對比

阿基米德就是在古希臘數學的第三個時期是亞歷山大前期數學代表人物之一。在阿基米德之前的歐幾里得（Euclid），他的《幾何原本》使用公理化方法建立起演繹體系的最初典范。而阿基米德則在繼承前人的基礎上將計算技巧和邏輯分析結合起來，注意理論與實際的聯系，通過實踐直觀他洞察到事物的本質。然后運用邏輯方法使經驗上升為理論，在用理論去指導實踐工作。他開始了哲學的數學向科學的數學的轉化，是數學更傾向于使用的方向發展，同時也體現出當時數學的特點——嚴格的邏輯關系證明。

3.2方法的比較

劉徽的割圓術采用的是無窮小分割，在每一次分割都要經過復雜的開方運算才能得出結果。在劉徽那個原始的計算這就需要劉徽有高超的計算機巧。但是劉徽知道他每計算出一個π值都是近似的，也就是用多邊形面積去逼近圓的面積。利用“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”的原理，無限次的增加正多邊形的邊數，而這一系列正多邊形面積的極限就是圓的面積。劉徽的方法不但表現了極限思想，并將π值精確到了3.1416。同時他為后人推算精確π值提供了一種方法。有了這種方法，祖沖之才將π推算到了3.1415926到3.1415927之間。

3.3影響的對比

從以上的分析中，我們可以看出，阿基米德即繼承了希臘古典時代數學以幾何為主體的嚴密的系統，又接受了亞歷山大社會注重實用的傾向。他的研究工作明顯地表現了時代的特征——發現結果與證明結果并重。而劉徽的割圓術主要體現在計算上。這也正是中國傳統的數學最顯著的特點。劉徽的方法雖沒有嚴格的證明，但是他的算法思想和極限思想卻走在中國乃至于世界的先列。

總之，劉徽的割圓術和阿基米德的拋物弓形求積法各自在不同的文化背景中產生。他們的思想內容和表達式上正體現了東、西數學的特點。而利用無窮小分割則是他們的不約而同之法。而此法與極限思想又是后來微積分學發展的前提和基礎。

參考文獻：

[1]吳文俊.中國數學家人文論壇.《東方數學的使命》