啟發性提示語在解題中的應用

【摘 要】如何讓學生學會解題，避免“能聽懂，做不對”的現象？準確運用啟發性提示語，引導學生獲得思路是數學教學中值得關注的問題。

【關鍵詞】啟發性提示語;高中數學

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）22-0037-03

【作者簡介】董榮森，江蘇省懷仁中學（江蘇無錫，214196）教師。

啟發性提示語是對波利亞提出的“元認知提示語”在數學教學上的補充。在數學教學中教師除了運用元認知提示語對學生進行啟發外，還可借助認知提示語進行啟發。波利亞在《怎樣解題》中明確指出：第一，必須理解題目;第二，找出已知數據與未知量之間的聯系，如果找不到直接的聯系，需考慮輔助題目，最終找到解題方案;第三，執行方案;第四，檢查已經得到的解答。因此，要讓學生學會解題，筆者認為，首先要引導學生知道如何運用啟發性提示語來審題，認清題目的條件和要求，深入分析條件中的各個元素，在復雜的記憶系統中找出需要的知識信息，建立題目的條件、結論與知識經驗之間的聯系，為解題作好知識上的準備;其次根據已知條件和所要解決的問題之間的關系，運用啟發性元認知提示語來尋找解題思路，探索解題的途徑，有目的地進行各種組合的試驗，盡可能將要解決的問題轉化為已知類型，選擇最優解法、最佳解題方案，經檢驗后作修正，再確定解題計劃;再次將計劃的所有細節實實在在地付諸實踐，通過與已知條件所選擇的根據作對比后修正計劃，然后著手敘述解答過程的方法，并且書寫解答與結果;最后回顧反思，在求得最終結果后，運用啟發性提示語來檢查并分析結果，探討實現解題的各種方法，研究特殊情況與局部情況，找出最重要的知識，將新知識和經驗加以整理使之系統化。

由啟發性提示語轉換的問題，不是簡單的文字瀏覽和在思想上的一掠而過，而是對每一個對象的意義、性質、不同對象的關系的深入思考與探究，特別是能否轉化為其他的意義與關系。這些思考并不是孤立進行的，而是貫穿于上述所有問題之中的。這是用于數學解題最基本的思考方法，當然不是萬能的方法。

一、“啟發性提示語”在理解題意中的應用

波利亞在《怎樣解題》中表示第一階段的理解問題是解題思維活動的開始。如何利用“啟發性提示語”來理解題意，需明白，深究是對題意的深究，轉換是將形式轉換。然后思考如何深究、如何轉換。對“它”進行思考，從而真正明確“它”的本質意義。

【案例1】已知A，B是橢圓 + =1上兩點，F2是左焦點，AB中點到準線距離為 ，若AF2+BF2= ……①，求橢圓的方程。

【分析】

（1）它是什么問題？求什么？

解析幾何問題，求橢圓方程。

（2）有哪些材料？已知①中的兩點在橢圓上，A，B怎么表示？

設A（x1，y1），B（x2，y2）。

橢圓的基本量是什么？

橢圓方程帶參數a，半長軸為a，b= a，c= a，e= 。

AF2+BF2表示什么？

A，B到左焦點的距離之和。

線段AB中點怎么表示？還能怎么表示？

設M（x0，y0）;x0= ，y0= ……②

左準線怎么表示？M到左準線的距離怎么表示？

左準線方程：x= = ……③

M到左準線的距離為x0+ = ……④

（3）有哪些工具？怎么運用這些工具？

橢圓的第一定義：AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a……⑤

橢圓的第二定義：

=e= 化簡得AF1= x1+a……⑥

=e= 化簡得BF1= x2+a……⑦

（4）這些工具之間有什么關系？如何利用？

中點M的橫坐標x0有②④兩種表示，因此可以聯列得x1+x2=3- ……⑧

由①⑤得AF1+BF1= ……⑨;

由⑥⑦得AF1+BF1= （x1+x2）+2a……⑩;

再由⑧⑨⑩可得 = （3- ）+2a，解得a=1。∴橢圓方程為x2+ =1。

【反思】利用啟發性提示語仔細地對問題中涉及的所有對象逐個理解、表示、整理、尋找聯系，包括過程中出現的新對象，要在理解題意的同時，基本得到問題解法。當然對提示語的掌握也有一個從不會到會、從不熟悉到熟悉的過程，只要堅持不斷領悟，就能產生顯著的效果。

二、“啟發性提示語”在擬訂和實施計劃中的應用

波利亞在《怎樣解題》的第二階段中的轉換問題是解題思維活動的核心，是探索解題方向和途徑的積極嘗試，是思維策略的選擇和調整過程;第三階段的計劃實施是解決問題過程的實現，它包含著一系列基礎知識和基本技能的靈活運用和思維過程的具體表達，是解題思維活動的重要組成部分。筆者認為在理解題意的過程中一定要弄清楚其中元素的關系。深入地分析并思考題目敘述中的每一個符號、術語的含義，從中找出習題的重要元素，在圖中標出（用直觀符號）已知元素和未知元素，并試著改變一下題目中（或圖中）各元素的位置或表達形式，看看能否有重要發現。盡可能從整體上理解題目的條件，找出它的特點，聯想以前是否遇到過類似題目。仔細考慮題意是否有其他不同理解，認真研究題目提出的目標。通過目標找出哪些法則同題目或其他元素有聯系。如果在解題中發現有你熟悉的一般數學方法，就盡可能用這種方法的語言表示題目的元素，便于解題思路的展開。

【案例2】（2011年江蘇高考題）已知1=a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6≤a7，a1，a3，a5，a7成等比數列，公比為q，a2，a4，a6成等差數列，公差為1，則q的最小值為 ？

【分析】

（1）這是一個什么范疇的問題？求什么？

是一個數列問題，奇數項成等比數列，偶數項成等差數列，求公比q的最小值。

（2）有哪些材料？表示什么？

1=a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6≤a7，a1=1各項依次遞增不減。

（3）有哪些工具？a1，a3，a5，a7成等比數列，公比為q，它還能怎么表示？

a3=a1;q=q，a5=q2，a7=q3;a2，a4，a6成等差數列，公差為1，它還能怎么表示？

a2，a4=a2+1，a6=a2+2;1=a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6≤a7還能怎么表示？具體化1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3……①還缺什么？缺少a2，q。

a2有什么性質？1=a1≤a2，q有什么性質？怎么表示？由①1≤a2≤q，要使得q最小，則1=a2=q，將其代入①得q3≥3 q≥ ，所以公比的最小值為 。

三、“啟發性提示語”在解題反思中的應用

波利亞的《怎樣解題》中第四階段的反思問題往往容易為人們所忽視，它是發展數學思維的一個重要方面，是一個思維活動過程的結束，同時包含另一個新的思維活動過程的開始。

【案例3】已知函數f（x）= + （a>0）是偶函數，求a的值。

【分析】

（1）已知什么材料？已知條件偶函數，理解題意“它”是什么？怎么表示？

（2）問題是什么？求a的值。a是什么？a是參數。f（x）是什么？與自然函數、分式有關的比較復雜的函數。

偶函數是什么？定義域關于原點對稱且f（-x）=f（x）。

本題中， f（-x）和f（x）分別是什么？怎么表示？

f（-x）= + ，

由f（-x）=f（x） ?+ = + ?（a- ）（e - ）=0，

從而得出a- =0，又a>0，所以a=1。

【反思】（1）你能否檢驗這個論證（結果）？

可以檢驗，當a=1時，f（x）=e + 滿足f（-x）=f（x），此時f（x）為偶函數。

（2）你能否用別的方法導出這個結果？

特殊化法，由f（x）為偶函數得f（-1）=f（1） ?+ = + ?a=1。

（3）你能不能把這個結果或方法用于其他的問題？

對于解決求含參數的問題，方法不外乎兩種：一是定義法，運用偶函數或奇函數的定義得到一個恒成立的等式來求解;二是特殊值法。

總之，教師借助啟發性提示語給學生必要的提示或暗示，讓學生通過自己的思維活動獲得提示或暗示，從而使數學思維得以發生、發展，數學知識和能力得以生長。教師運用啟發性提示語的最終目的在于使學生在啟發性提示語的引導下，逐步學會理解題意、學會解題，以便當教師淡出時，學生能夠自我啟發和自我提問，不斷開發學習的潛能。