淺談“全等三角形”基礎圖形的探究與運用

曹文富

摘 要 在數學教學過程中，要關注培養學生“數學活動經驗”，發展學生的數學思維，積累全等三角形的基礎圖形，歸納圖形變換的規律，找到解決全等三角形問題的基本方法，提高解決數學問題的能力。

關鍵詞 全等三角形 基礎圖形 平移 對稱 旋轉 變換

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2015）05-0065-02

全等三角形是平面幾何的一個基礎內容，更是重要內容。運用全等三角形來證明線段相等、角相等，還可根據等角、等邊進一步推出圖形還具有的一些性質，如兩線平行、兩線垂直等。由此可以看出全等三角形這一知識所起的工具性作用。利用全等三角形解決問題的關鍵是要充分利用己知條件和圖形結構，認真分析圖形，從復雜的圖形中找到一對基礎三角形，弄清一個三角形是怎樣通過甲移、翻折、旋轉的圖形變換達到另一個三角形的位置。將已知條件轉化為所需的條件，弄清對應邊及對應角，對照全等條件去分析己具有的條件和還缺少的條件。

由于探索三角形全等條件的方法很多，有時全等三角形會隱藏在復雜的圖形中，為了能快速找到全等的三角形，因此很多同學在解題時會感到眼花繚亂，難以迅速找到對應的解題思路。只有在平時教學活動中為學生提供一個研究全等三角形的甲臺，直接參與數學實踐探究：如將兩張紙疊起來，剪下兩個全等三角形，然后將疊合的兩個三角形紙片放在桌面上，從平移、對稱、旋轉幾個方面進行擺放，看看兩個三角形有一些怎樣的特殊位置關系？注意兩個全等三角形的對應邊和對應角，讓學生熟悉有代表性的位置擺放形式，為“全等三角形基礎圖形”的識別積累思維活動經驗，讓學生達到“會學”的境界。

一、基礎圖形類型歸納

常見的全等三角形基礎圖形模型有如下幾種類型：

（一）平移型

如圖1，此類圖形可以看成有一組對應邊在同一直線上的兩個三角形甲移構成，故該對應邊的相等關系一般可由同一直線上的線段和或差而得到。在這個基礎圖形中，甲行線無疑是解決問題的關鍵。

（二）對稱型

如圖2，此類圖形的特征是兩個三角形可沿某一直線翻折，直線兩旁的部分能完全重合，重合的頂點就是全等三角形的對應頂點。在這個基礎圖形中要注意基本的一些軸對稱圖形。

（三）旋轉型

如圖3，此類圖形可以看成是繞三角形的某一頂點旋轉一定角度所構成的，故一般有一對相等的角隱含在對頂角、公共角、某些角的和或差中。在這個基礎圖形中要注意的是一些本身具有旋轉對稱或中心對稱性質的圖形，圖形的旋轉不變性往往是解決問題的關鍵。

（四）復合型

如圖4，我們在解決三角形全等問題時，經常遇到幾種圖形變換交替使用，綜合了之前幾種基本圖形，例如旋轉平移型、軸對稱平移型等。這時就需要熟練掌握這些基本圖形的特征，讓學生通過實踐活動發現不同問題中圖形的變化規律，充分利用公共邊、公共角或對頂角等特有的圖形關系，可以幫助我們很快找到證明思路。

二、解決中考問題

學習數學離不開解題，會解題是學好數學的主要標志之一。全等三角形的應用在各地中考中都占有一定的比重，我們通過探索幾道中考題的解法，訓練學生將全等三角形的基礎圖形運用到具體的解題中。常見的題型有以下四類：

（一）運用平移型基礎圖形解決問題

案例1、（2011·玉溪中考題）如圖5，點B、C、D、E在同一條直線上，己知AB=FC，AD=FE，BC=DE，探索AB 與FC的位置關系？并說明理由。

解析：由BC=DE，根據等式性質在等號兩邊同時加上CD，得到BD=CE，又AB=FC，AD=FE，三角形ABD與三角形FCE通過平移重合，根據SSS判定全等，由全等三角形的對應角相等可得一對同位角相等，根據同位角相等，兩直線平行即可得證。

解：AB與FC位置關系是：AB∥FC，

理由：∵BC=DE（已知），

∴BC+CD=DE+CD（等式的基本性質），即BD=CE，

在△ABD和△FCE中，

∴△ABD≌△FCE（SSS），

∴∠B=∠FCE（全等三角形的對應角相等），

∴AB∥FC（同位角相等，兩直線平行）.

（二）運用對稱型基礎圖形解決問題

案例2、如圖6，已知四邊形紙片ABCD中，AD∥BC，將∠ABC，∠DAB分別對折，如果兩條折痕恰好相交于DC上一點E，點C，D都落在AB邊上的F處，你能獲得哪些結論？

解析：利用圖形對折前后重合部分全等，從線段關系、角的關系、面積關系等不同方面進行探索，以獲得更多的結論，是一道開放性試題。

解：①AD=AF，ED=EF=EC，BC =BF.

②AD十BC =AB，DE+EC =2EF.

③∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠D=∠AFE，∠C=∠EFB，∠DEA =∠FEA， ∠CEB =∠FEB.

④∠AEB=90。或EA⊥EB.

⑤S△DAE=S△EAF，S△ECB=S△EFB.

【思考】本題融操作、觀察、猜想、推理于一體，需要具有一定的綜合能力，推理論證既是說明道理，也是探索、發現的途徑，善于在復雜的圖形中發現、分解、構造基本的全等三角形是解題的關鍵，需要注意的是，通常面臨以下情況的圖形中沒有全等三角形，而證明結論需要全等三角形.（2）從題設條件中無法證明圖形中的三角形全等，證明需要另行構造全等三角形。

（三）運用旋轉型基礎圖形解決問題

案例3、（玉溪中考題）.如圖7，己知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，還需添加的條件是（只需填一個）

。

解析：因為∠1=∠2，∠DAC為公共角，易得∠BAC=∠DAE，將△ABC繞A點旋轉可以與△ADE對應重合，從而確定對應邊和對應角，所以可添加∠B=∠D或∠C=∠E或AC = AE

三、運用復合型圖形解決問題

案例4、（2012年云南省中考題）如圖8，在△ABC中，∠C = 90。，點D是AB邊上的一點，DM⊥AB，且DM =AC，過點M作ME//BC交AB 于點E求證：△ABC≌△MED

解析：（平移旋轉對稱型）如圖，根據已知條件DM =AC，∠C =90。和DM⊥AB，不難看出△ABC和△MED之間可以通過平移、旋轉、軸對稱三種變換而互相重合，從而容易尋找全等的條件。

證明：∵ME//BC

∴∠DEM = ∠B（兩直線平行，同位角相等）

∵DM⊥AB→∠MDE = 90。=∠C

在△ABC和△MED中

通過運用基礎圖形解決以上全等三角形的中考題可以看出，從學生已有的知識儲備和現有的認知基點出發，通過實踐操作活動，將學生緊緊拴牢在數學思維活動這一具有數學本質的維度中。這不僅有助于我們對全等三角形知識的理解和記憶、加深鞏固全等三角形的知識，又發展了圖形變換的思維，把數學知識轉化為數學能力。與此同時，能對學生有效地進行數學思維訓練，而且還能為學生積累基本的數學活動經驗，提供有效的活動載體，培養學生主動探索的創造性能力，進而全面提高學生應用知識解決問題的能力。