巧建坐標系 妙解幾何題
——與笛卡爾的“時空對話”

文／ 周 煉

相傳法國哲學家、數學家笛卡爾有一天臥病在床，正思考著如何將幾何與代數相結合，此時一只蜘蛛在墻角來回移動。笛卡爾突發奇想，將蜘蛛看成一個點，墻角的線看成數軸，坐標系的雛形便應運而生，代數與幾何之間也架起了一座橋梁。那么，老師想問問同學們，當你們遇到幾何問題時，會從代數角度去思考嗎？今天我們不妨也將“點”視為“蜘蛛”，看看能否打開研究幾何問題的新視角。

一、確定“蜘蛛”的位置

例1如圖1，小明手中有一張矩形紙片ABCD，AB=4，AD=9。點K在這張矩形紙片的邊AD上，DK=3，將紙片折疊，使AB落在CK所在直線上，折痕為HI，點A、B分別落在點A′、B′處，小明認為B′、I、D三點共線，他的判斷是否正確，請說明理由。

圖1

【思路分析】這三只“蜘蛛”B′、I、D共線嗎？我們可以選擇其中兩個點求出其直線表達式，然后將第三個點代入驗證即可。本題中矩形的幾何背景與相似關系為這樣的做法提供了保障。建立如圖2 所示的平面直角坐標系，過點B′作B′B″⊥BC，利用相似的有關知識可以求得，從而求得直線B′I的表達式為，再將點D（9，4）代入該直線表達式中，得，所以B′、I、D三點不共線。

圖2

【歸納總結】平面直角坐標系的“定位”功能是刻畫并確定點的位置最有力的工具。以后，我們在遇到描述點的位置問題時，在條件允許的情況下就可以考慮通過建立平面直角坐標系解決問題。

二、計算“蜘蛛”間的距離

例2如圖3，矩形ABCD中，AB=6，AD=6，點E在AB上，且AE=2。將該矩形沿EF折疊，使點B恰好落在AD邊上的點P處，連接PB交EF于點G，連接PF、DG，它們相交于點H，求HD的長。

圖3

【思路分析】如果要求兩只“蜘蛛”之間的距離，還可以建立平面直角坐標系來求嗎？當然可以。本題的幾何背景依然是易于建立平面直角坐標系的矩形，且由于翻折變換，還形成了大量的相似三角形，這些相似三角形都是兩個內角為30°、60°的直角三角形。我們不難發現，建立平面直角坐標系后，除了點H，其他點的坐標都可以通過相似或銳角三角形函數的知識求得。建立如圖4 所示的平面直角坐標系，可以求得。因為點H可以視為直線DG與直線PF的交點，所以在求出直線PF的表達式y=-x+12和直線DG的表達式y=后，聯列方程解得便可求出點H的坐標為再根據點H與點D的坐標，運用勾股定理求出HD的長。過點H作HH′⊥CD，根 據 勾 股 定 理 得

圖4

【歸納總結】要求兩點之間的距離，我們可以建立平面直角坐標系，通過分析題目中的幾何關系，賦予每一個點精準的坐標，再利用勾股定理的相關知識便可解決問題。

三、研究“蜘蛛”的軌跡

例3如圖5，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4。點G為邊BC的中點，點D從點C出發沿CA向點A運動，到點A停止，以GD為邊作正方形DEFG，求點E的運動路徑的長。

圖5

【思路分析】“蜘蛛”沿著一條直線動起來了怎么辦？如果點的運動軌跡是一條直線，那不就是我們熟悉的一次函數嗎？只要我們設出這個動點的坐標并找到該動點坐標背后的函數表達式，那么就可以準確地找到這只“蜘蛛”的運動軌跡。建立如圖6 所示的平面直角坐標系，過點E作EE′⊥y軸，垂足為E′，設DC=t，根據全等的相關知識可得點E的坐標為（-t，t+2），所以點E在直線y=-x+2 上運動。“蜘蛛”運動路徑的長如何求呢？在找到該動點所在的函數表達式后，根據條件中提供的運動范圍找到該動點的起終點，由題意可知0≤t≤3。當t=0 時，y=2，此時點E的坐標為（0，2）；當t=3時，y=5，此時點E的坐標為（-3，5）。再根據勾股定理求得點E運動的路徑長是

圖6

【歸納總結】研究動點的軌跡是較為靈活的探究性問題，建立平面直角坐標系后利用函數的相關知識可以量化動點的運動過程，這是一種更便捷的“代數”策略。