可處理多普勒量測的最佳線性無偏估計算法

王 煒李 丹姜禮平金裕紅

①(海軍工程大學(xué)理學(xué)院 武漢 430033)

②(武漢理工大學(xué)理學(xué)院 武漢 430070)

可處理多普勒量測的最佳線性無偏估計算法

王 煒①李 丹*②姜禮平①金裕紅①

①(海軍工程大學(xué)理學(xué)院 武漢 430033)

②(武漢理工大學(xué)理學(xué)院 武漢 430070)

基于目標(biāo)位置量測的一些量測轉(zhuǎn)換方法已被廣泛使用在目標(biāo)跟蹤應(yīng)用中，使得卡爾曼濾波器得以在直角坐標(biāo)系中應(yīng)用。但是，這些量測轉(zhuǎn)換方法有一些會導(dǎo)致估計性能惡化的根本缺陷。事實(shí)上，除了位置量測外，理論計算和實(shí)踐已經(jīng)證明，包含目標(biāo)速度信息的多普勒量測具有有效提高目標(biāo)狀態(tài)估計精度的潛力。該文在直角坐標(biāo)系下提出一種可使用轉(zhuǎn)換多普勒量測(即距離量測與多普勒量測的乘積)的濾波器。從理論上講，它是在最佳線性無偏估計準(zhǔn)則下的最優(yōu)線性無偏濾波器，并且避免了量測轉(zhuǎn)換方法的根本缺陷。通過將近似處理后的新型最優(yōu)線性濾波器與目前4種流行的方法進(jìn)行仿真比較，驗證了所提出的濾波器的優(yōu)越性。

目標(biāo)跟蹤；多普勒量測；最佳線性無偏估計；量測轉(zhuǎn)換

1 引言

在主動雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)中，目標(biāo)運(yùn)動模型通常在直角坐標(biāo)系中建立，而雷達(dá)量測一般是在極/球坐標(biāo)系中得到的。這樣，目標(biāo)跟蹤問題就成為一個非線性估計問題。解決該問題一般有兩類方法。一類是在混合坐標(biāo)系下跟蹤目標(biāo)，主要的方法為擴(kuò)展卡爾曼濾波器(Extented Kalman Filter, EKF)、二階EKF和無跡卡爾曼濾波器(Unscented Kalman Filter, UKF)等。EKF對于高非線性問題常會導(dǎo)致濾波結(jié)果發(fā)散。無跡變換(Unscented Tranform, UT)在雷達(dá)估計問題中本質(zhì)上能捕捉到量測轉(zhuǎn)換偏差，但是不能去消除偏差，所以導(dǎo)致基于無偏量測轉(zhuǎn)換(Unbiased Converted Measurement, UCM)和基于UT的卡爾曼濾波仿真估計結(jié)果是近乎相同的[1,2]。另一類方法是量測轉(zhuǎn)換[3]卡爾曼濾波(Converted Measurement Kalman Filter, CMKF)算法。由于極/球坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系是很明確的，所以這種專門設(shè)計的濾波方法可能會在實(shí)際應(yīng)用中完成得更好些。“量測轉(zhuǎn)換”方法主要包含去偏量測轉(zhuǎn)換(Debiased Converted Measurement, DCM)[4]和UCM[5]兩類方法。最近，文獻(xiàn)[2]總結(jié)以往提出的量測轉(zhuǎn)換方法的優(yōu)缺點(diǎn)后，提出了去相關(guān)無偏量測轉(zhuǎn)換(Decorrelated Unbiased Converted Measurement, DUCM)方法。DUCM的估計性能優(yōu)于前面的幾種量測轉(zhuǎn)換方法，且其性能與一種最佳線性無偏估計(Best Linear Unbiased Estimation, BLUE)算法[6]相當(dāng)。然而，量測轉(zhuǎn)換方法固有的缺陷導(dǎo)致基于量測轉(zhuǎn)換的卡爾曼濾波估計無論如何也不是最優(yōu)的。實(shí)際上，卡爾曼濾波器是基于BLUE準(zhǔn)則提出的。文獻(xiàn)[6]基于BLUE 準(zhǔn)則，提出一種直接使用極/球坐標(biāo)系中的雷達(dá)量測的近似BLUE濾波器，這種方法直接使用BLUE準(zhǔn)則對目標(biāo)的運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行估計，不僅克服了量測轉(zhuǎn)換方法的缺陷，而且在估計誤差和濾波器的可靠性方面都明顯超過了量測轉(zhuǎn)換方法。

前面講到的雷達(dá)濾波方法僅使用了雷達(dá)的位置量測。事實(shí)上，充分利用多普勒量測可以有效地提高目標(biāo)狀態(tài)的估計精度[7?9]，即使在量測源不確定條件下亦是如此[10]。早先通常假設(shè)斜距、角度和多普勒量測的量測誤差是統(tǒng)計獨(dú)立的，但最近的研究表明：斜距和多普勒量測的量測誤差對于某些雷達(dá)波形而言是統(tǒng)計相關(guān)的[7,8]。為減小多普勒量測模型在直角坐標(biāo)系下的強(qiáng)非線性，學(xué)者們通過將斜距和多普勒量測相乘構(gòu)造了偽量測。基于此，為了充分利用雷達(dá)的多普勒量測信息，文獻(xiàn)[11]將DCM卡爾曼濾波算法推廣到包含多普勒量測且斜距誤差和多普勒誤差相關(guān)的情形。文獻(xiàn)[12]基于修正的無偏量測轉(zhuǎn)換(Modified Unbiased Converted Measurement, MUCM)提出了序貫量測轉(zhuǎn)換卡爾曼濾波方法。文獻(xiàn)[13]沒有使用這一乘積，而是直接基于多普勒量測方程，使用UT變換進(jìn)行序貫卡爾曼濾波。文獻(xiàn)[14]首先使用極坐標(biāo)位置量測，并經(jīng)過量測轉(zhuǎn)換卡爾曼濾波估計出目標(biāo)位置狀態(tài)估計，然后通過使用偽量測(又稱轉(zhuǎn)換多普勒量測)，并經(jīng)過卡爾曼濾波估計出轉(zhuǎn)換多普勒偽狀態(tài)估計，最后使用最小方差估計準(zhǔn)則組合多普勒偽狀態(tài)估計和目標(biāo)位置狀態(tài)估計，并得出最終估計結(jié)果。該算法的性能優(yōu)于文獻(xiàn)[3,5, 14,15]所提出的算法。

本文基于BLUE準(zhǔn)則，推導(dǎo)出一種直接使用極坐標(biāo)系中的雷達(dá)位置量測和多普勒量測的近似最佳線性無偏估計濾波器。該方法可以直接使用極坐標(biāo)下的雷達(dá)量測對目標(biāo)的直角坐標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行估計，在估計誤差和濾波器的可靠性方面都明顯超過了量測轉(zhuǎn)換方法。

2 遞推BLUE濾波器

令Zk和Xk是k時刻的量測和目標(biāo)狀態(tài)，并且令Zk代表到k時刻為止的所有歷史量測的集合。對所有的沒有任何特定假設(shè)的Zk和Xk，無論Zk和Xk是否是線性或非線性關(guān)系，BLUE濾波器E*[X|Z]總是有準(zhǔn)遞推形式：

考慮包含線性運(yùn)動方程和極坐標(biāo)量測方程的隨機(jī)系統(tǒng)Xk=Fk?1Xk?1+Gk?1wk?1,Zk=h (Xk,vk)，其中，{wk}和{vk}是過程噪聲和量測噪聲序列，都與初始狀態(tài)x0獨(dú)立。Fk?1是轉(zhuǎn)移矩陣，且h(Xk,vk)是量測函數(shù)。首先，BLUE狀態(tài)預(yù)測能夠精確地運(yùn)行如下：

3 極坐標(biāo)系下的跟蹤算法

對于任意時刻k，相對于真實(shí)斜距r，方位角θ和多普勒信息r.，極坐標(biāo)系下的斜距量測，方位角量測和多普勒量測可記為=r+, k。其中，,和為相應(yīng)的加性量測噪聲，都是零均值的高斯白噪聲序列，分別具有標(biāo)準(zhǔn)差σr,σθ和σr.。r~k和r~.k分別與θ~k相互獨(dú)立，并且r~k,θ~k和r~.k都獨(dú)立于r,θ和r.。r~k和r~.k是相關(guān)的，相關(guān)系數(shù)為ρ。

首先，將極坐標(biāo)系下的位置量測轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系后產(chǎn)生：

然后，為了減弱多普勒量測和目標(biāo)運(yùn)動之間的強(qiáng)非線性程度，構(gòu)造了偽量測方程：

這樣，跟蹤系統(tǒng)具有非線性量測方程：

狀態(tài)預(yù)測誤差X~k和量測預(yù)測誤差Z~k的互協(xié)方差為(推導(dǎo)略)

其中，s13=s31,s23=s32,s12=s21，

有關(guān)s11,s22,s12的計算公式可參見文獻(xiàn)[6]。由于存在不能精確計算的條件期望E[?]，所以sij(i,j= 1,2,3)不能精確地給出閉式解，但是可以高精度地將它們近似計算出來。文獻(xiàn)[6]已經(jīng)給出了近似計算sij(i,j=1,2)中的期望值E[?]的計算公式。在下一節(jié)中我們將使用泰勒級數(shù)展開法將其他的sij中的期望E[?]做出近似分析。

下面總結(jié)出了本文所提新算法(簡記為BLUEPM)在一個循環(huán)周期內(nèi)的完整濾波過程：第1步，使用式(4)～式(6)計算出狀態(tài)預(yù)測更新量和，以及預(yù)測量測量；第2步，再使用式(4)～式(6)，式(7)和式(8)計算出狀態(tài)量測更新量k和Pk；第3步，進(jìn)入下一輪循環(huán)。

4 預(yù)測量測誤差協(xié)方差陣中期望值的近似求法

由于sij(i,j=1,2,3)中涉及的期望E[?]要么沒有解析解，要么表達(dá)復(fù)雜。所以可以先對需要求期望的函數(shù)進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，并取前若干項去近似該函數(shù)，然后再求近似表達(dá)式的期望。關(guān)于sij(i,j=1,2)的近似合理性，在文獻(xiàn)[6]中已經(jīng)分析過。我們重點(diǎn)來分析si3(i=1,2,3)的近似計算。此處si3= s3i。但限于篇幅，此處只給出了si3(i=1,2,3)中期望E[()2|Zk?1]的二階泰勒近似展開式，而省略了期望E[xk/rk|Zk?1]和E[yk/rk|Zk?1]的二階近似展開式。

對許多目標(biāo)跟蹤應(yīng)用而言，上述對分量si3(i= 1,2,3)的近似是十分精確的。這一論斷可以由仿真結(jié)果進(jìn)一步驗證。我們將看到，在所有仿真結(jié)果中，BLUEPM算法的估計誤差較其它濾波算法而言總是最小的。

為了保證BLUEPM算法的數(shù)值穩(wěn)定性，在執(zhí)行該算法時，沒有將上述E[()2|Zk?1], E[xk/ rk|Zk?1]和E[yk/rk|Zk?1]的二階泰勒展開公式，進(jìn)一步截斷為一階公式，否則Sk會失去正定性，從而出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象(這一結(jié)論在仿真中已經(jīng)得到驗證)。盡管BLUEPM算法直接使用了這些看似復(fù)雜的二階泰勒展開公式，但是通過仿真與其它4個算法相比較后，發(fā)現(xiàn)BLUEPM算法的時間復(fù)雜度仍然還是很小的。

5 仿真結(jié)果

本節(jié)將通過仿真和性能比較來驗證本文算法BLUEPM的有效性。假設(shè)目標(biāo)運(yùn)動近似為勻速運(yùn)動。目標(biāo)初始位置為(10 km,10 km)，運(yùn)動速度為20 m/s(x方向和y方向的速度分量為10 m/s和103 m/s)。在對目標(biāo)運(yùn)動的仿真中，使用連續(xù)離散化白噪聲加速度模型(Nearly Constant Velocity, NCV)定義目標(biāo)運(yùn)動方程，采樣周期為1 s，過程噪聲為零均值的高斯白噪聲，且過程噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為0.001 m/s2。采用一部固定雷達(dá)對目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，其直角坐標(biāo)位置為(0 km,0 km)，采樣周期為1 s，雷達(dá)的量測量為斜距、方位角和多普勒量測，量測噪聲為零均值的高斯白噪聲，斜距、方位角和多普勒量測的標(biāo)準(zhǔn)差分別記為σr,σθ和σr.。斜距和多普勒量測之間的相關(guān)系數(shù)記為ρ。

基于引言部分對不同量測轉(zhuǎn)換方法的研究結(jié)果，我們選擇了4種常用且跟蹤性能優(yōu)良的量測轉(zhuǎn)換算法(分別記為MC[5], CPMKF[3], DCMD[13]和SFCMKP[11])，與BLUEPM算法進(jìn)行仿真比較。MC算法和CPMKF算法僅使用了雷達(dá)的距離和方位角量測，而為提高目標(biāo)狀態(tài)估計精度，DCMD算法，SFCMKP算法和BLUEPM算法還用到了多普勒量測信息。所有算法在仿真中使用了相同的目標(biāo)初始狀態(tài)估計及其估計誤差協(xié)方差矩陣。依照斜距和多普勒量測之間的相關(guān)系數(shù)的不同取值，仿真實(shí)驗共被分為3大類，每一類中又包含3種不同場景，所以總共有9種仿真場景。每種仿真場景的仿真次數(shù)為50次，每次仿真時長為200 s。表1給出了所有不同仿真場景的量測噪聲參數(shù)設(shè)置值。通過對量測噪聲參數(shù)設(shè)置值從大到小取不同值，進(jìn)行不同組合，形成不同仿真場景，以便充分驗證BLUEPM算法的有效性和優(yōu)越性。

圖1～圖9分別給出了在不同仿真場景下這5種估計算法的均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)比較結(jié)果。圖1～圖3對應(yīng)相關(guān)系數(shù)ρ=0時的RMSEs。圖4～圖6對應(yīng)相關(guān)系數(shù)0.9 ρ=?時的RMSEs。最后，圖7～圖9對應(yīng)相關(guān)系數(shù)ρ=0.9時的RMSEs。為便于顯示，圖中每個時間步長h=4 s。

從仿真結(jié)果圖可以看出，5種算法可以按照估計性能分為兩類，I類算法為SFCMKP和BLUEPM, II類算法為MC, CPMKF和DCMD。I類算法明顯比II類算法能夠更加快速穩(wěn)定地達(dá)到更精確的穩(wěn)態(tài)估計值，這說明加入多普勒量測信息確實(shí)能夠提高目標(biāo)狀態(tài)估計精度。SFCMKP算法和BLUEPM算法的估計性能差別并不太明顯。從幾乎所有的仿真圖中可看出，自40 s以后，BLUEPM算法的RMSE要低于SFCMKP算法，說明BLUEPM算法能夠得到精度更高的目標(biāo)狀態(tài)估計值。從圖7和圖8可以看到，SFCMKP算法在50 s附近出現(xiàn)了野值，而

BLUEPM算法沒有出現(xiàn)。盡管本文未在仿真中對文獻(xiàn)[14,15]所提出基于UT變換的算法進(jìn)行比較，但是從文獻(xiàn)[11]已經(jīng)知道，SFCMKP算法的估計性能要好于文獻(xiàn)[14,15]的算法，所以可以推測：BLUEPM算法的估計性能也應(yīng)該好于文獻(xiàn)[14,15]的算法。可以看出，MC算法和CPMKF算法性能相當(dāng)，它們的RMSEs也沒有出現(xiàn)大的波動，而DCMD算法的RMSEs一開始便出現(xiàn)了大的波動，但隨著時間的推移逐漸減小，估計結(jié)果逐漸穩(wěn)定在MC算法和CPMKF算法的狀態(tài)估計值處。實(shí)際上，可以計算得到在所有算法的RMSEs時間平均值中，DCMD算法要比MC算法和CPMKF算法更小。圖10給出仿真中的5種算法的平均單次執(zhí)行時間。BLUEPM算法的執(zhí)行時間為0.087 s, SFCMKP算法的執(zhí)行時間為1.524 s, DCMD算法的執(zhí)行時間為1.033 s, CPMKF算法的執(zhí)行時間為0.414 s, MC算法的執(zhí)行時間為0.761 s。可以看出，BLUEPM算法的執(zhí)行時間最短，幾乎為SFCMKP算法的1/20。DCMD算法的執(zhí)行時間幾乎是CPMKF算法的2倍。總而言之，BLUEPM算法是執(zhí)行時間最短，跟蹤精度最好的算法，SFCMKP算法次之，而MC算法，CPMKF算法和DCMD算法的跟蹤精度相當(dāng)，并劣于BLUEPM算法和SFCMKP算法。

表1 仿真中9種不同場景的參數(shù)設(shè)置表

圖1 場景1對應(yīng)的RMSEs

圖2 場景2對應(yīng)的RMSEs

圖3 場景3對應(yīng)的RMSEs

圖4 場景4對應(yīng)的RMSEs

圖5 場景5對應(yīng)的RMSEs

圖6 場景6對應(yīng)的RMSEs

圖7 場景7對應(yīng) 的RMSEs

圖8 場景8對應(yīng)的RMSEs

圖9 場景9對應(yīng)的RMSEs

6 結(jié)論

本文討論了同時使用位置量測和多普勒量測進(jìn)行目標(biāo)跟蹤的問題，并且提出一種可使用轉(zhuǎn)換多普勒量測(即距離量測與多普勒量測的乘積)的濾波器。從理論上講，該濾波器是在BLUE準(zhǔn)則下的最優(yōu)線性濾波器，可以完全在直角坐標(biāo)系中運(yùn)行，并且避免了量測轉(zhuǎn)換方法的根本缺陷。通過仿真實(shí)驗，將本文算法與幾種流行方法的跟蹤性能進(jìn)行了比較和驗證。仿真實(shí)驗使用了具有不同量測誤差和不同相關(guān)系數(shù)(即距離量測與多普勒量測之間的相關(guān)系數(shù))組合的多個仿真場景。依照估計誤差和算法執(zhí)行時間指標(biāo)，在所有仿真場景中，新算法明顯優(yōu)于其他幾種流行方法。新算法能夠提供更加精確的估計結(jié)果，執(zhí)行時間更短。由于本文算法放棄了卡爾曼濾波器框架，轉(zhuǎn)而直接使用最佳線性無偏估計準(zhǔn)則，所以它在沒有增加算法復(fù)雜度的前提下，獲得了更好的性能。

圖10 5種算法的平均單次執(zhí)行時間比較

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王 煒： 男，1975年生，副教授，研究方向為信息融合、信號處理與控制.

李 丹： 女，1980年生，講師，研究方向為統(tǒng)計學(xué)、信息處理.

姜禮平： 男，1961年生，教授，研究方向為信息融合、作戰(zhàn)仿真.

金裕紅： 男，1968年生，副教授，研究方向為算法理論及其應(yīng)用.

The Best Linear Unbiased Estimation Algorithm with Doppler Measurements

Wang Wei①Li Dan②Jiang Li-ping①Jin Yu-hong①

①(School of Science, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

②(School of Science, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430070, China)

A number of measurement-conversion techniques, which are based on position measurements, are widely used in tracking applications, so that the Kalman filter can be applied to the Cartesian coordinates. However, they have fundamental limitations resulting in filtering performance degradation. In fact, in addition to position measurements, the Doppler measurement containing information of target velocity has the potential capability of improving the tracking performance. A filter is proposed which can use converted Doppler measurements (i.e. the product of the range measurements and Doppler measurements) in the Cartesian coordinates. The novel filter is theoretically optimal in the rule of the best linear unbiased estimation among all linear unbiased filters in the Cartesian coordinates, and it is free from the fundamental limitations of the measurement-conversion approach. Based on simulation experiments, an approximate, recursive implementation of the novel filter is compared with those obtained by four state-of-the-art conversion techniques recently. Simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed filter.

Target tracking; Doppler measurement; Best linear unbiased estimation; Converted measurement

TP391

： A

：1009-5896(2015)06-1336-07

10.11999/JEIT141113

2014-08-21收到，2014-12-22改回

國家自然科學(xué)基金(51307128, 60873032)，中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項資金(2012-Ia-045)，湖北省自然科學(xué)基金(2013CFB437)和海工大基金(HJGSK2014G121)資助課題

*通信作者：李丹 lidan0520@163.com