基于幾何校正的聚束SAR快速分級后投影算法

左紹山楊澤民 孫光才 邢孟道

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

基于幾何校正的聚束SAR快速分級后投影算法

左紹山*楊澤民 孫光才 邢孟道

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

快速分級后投影(Fast Factorized Back Projection, FFBP)算法大幅減少了原始后投影算法的插值次數，提升運算效率。然而圖像合成過程中仍然需要大量的圖像域2維插值操作，龐大的計算量限制了其在實際中的應用。該文提出一種基于幾何校正的聚束SAR快速分級后投影算法。該算法利用幾何校正的方法實現子圖像配準，即在滿足聚焦性能的前提下，通過距離維平移和角度維旋轉完成子圖像在不同坐標系下的投影和子圖像合成。該算法避免了逐點插值運算，進一步降低了FFBP算法的計算量。仿真結果表明，該算法能高精度聚焦成像，并且其運算效率相對于基于圖像域2維插值的FFBP算法顯著提高。

SAR；聚束；快速分級后投影；幾何校正；逐點插值

1 引言

合成孔徑雷達是一種全天候、全天時遙感設備，自20世紀50年代出現以來，研究人員提出了多種SAR成像算法[1,2]。其中，后向投影(Back Projection, BP)算法由于其能夠適用于SAR的任意工作模式，能夠對含有運動誤差的任意成像幾何的SAR數據進行精確聚焦[3]并且容易采用并行計算實現[4]而受到人們的關注。最初，BP算法是從計算機層析成像[5?8]領域引入的。1983年，文獻[6]將其用于聚束SAR成像。然而BP算法需要逐點遍歷，計算量大，效率低。比如，當圖像為N×N點，孔徑長度也為N時，整個成像過程需要3N次插值操作[9]。龐大的計算量限制了BP算法的實踐應用。為了降低BP算法的運算量，人們進行了很多研究[10?19]。文獻[10]提出了一種快速后投影(Fast Back Projection, FBP)算法。當分塊大小取為N時，該算法計算量達到理論最優的O(N2.5)。相對于BP算法，該算法計算量有所減少，但是在實際應用中，算法效率仍然不高。文獻[16]提出了一種利用波數域譜融合的快速BP算法。一些研究人員提出了將自聚焦方法與后投影相結合的成像算法[17?18]。文獻[19]提出了快速分級后投影(Fast Factorized Back Projection, FFBP)算法。這種算法首先劃分子孔徑得到粗分辨率的子圖像，然后子圖像逐級相干累加得到全分辨率圖像。當基數取2或4時，快速分級后投影算法計算量達到理論最優的O(N2log2N)。然而快速分級后投影算法FFBPA需要2維逐點插值，并且多次迭代操作使得算法流程比較繁瑣。在實際應用時，FFBP算法需要選取較長的子孔徑，或取較大的基數以降低迭代次數，獲得較好的聚焦效果。也就是說，FFBP算法難以達到O(N2log2N)的計算量。

針對FFBP算法2維逐點插值計算量大的問題，本文提出的基于幾何校正的FFBP算法對子圖像的每行每列進行整體操作，避免2維逐點插值運算，提高了計算速度并且處理流程簡單方便。本文首先分析了快速分級后投影算法，給出了成像模型，然后詳細介紹了基于幾何校正的FFBP算法的原理和實現步驟，接下來分析了本文所提算法的誤差和計算量，最后通過仿真實驗驗證本算法的有效性。

2 快速分級后投影算法

文獻[10]證明了，在初始孔徑很短時，極坐標系格式下的數據在角頻域只占很窄的一部分區域，這意味著在比較粗糙的分辨率下進行成像而不損失圖像信息。因此FFBP算法以及本文提出的算法都是在局部極坐標系(Local Polar Coordinates, LPC)下實現成像。本文針對聚束SAR成像模式進行研究討論。局部極坐標系聚束SAR成像幾何如圖1所示。

圖1 極坐標系下聚束SAR成像幾何

圖1中，L表示子孔徑長度，X軸表示飛機航跡。以子孔徑的中心O為原點，建立LPC，極軸垂直航跡并指向成像場景一側，如圖1中虛線所示，規定極軸右側角度為正值，極軸左側角度為負值。場景中任意一點P，其在該LPC中的坐標為(rp,θp)。在某時刻，雷達在LPC中的坐標為(X, π/2)。根據余弦定理，可得P點到雷達的瞬時斜距R(X,rp,θp)：

設雷達發射信號為sT(τ)，其帶寬為B，波長為λ。則接收到的目標回波為

其中，σp表示目標P點的后向散射系數，時延Δtp, c表示光速。sR(τ,X)經過脈沖壓縮處理得到

FFBP算法首先利用傳統BP積分模型對子孔徑信號進行成像處理，BP算法在時域將距離脈沖壓縮后的數據后向投影到各成像點，通過相干積累得到聚焦的圖像。子孔徑BP積分過程可表示為

FFBP算法的主要思想是：先將全孔徑劃分成若干子孔徑，再利用BP積分分別對子孔徑信號成像處理，得到多幅粗分辨率的子圖像，然后采用多級合成，逐級提高圖像分辨率，最終得到全分辨率圖像。FFBP算法避免了對成像場景中每個點在全孔徑搜索的過程[3]，相對于BP算法，減少了計算量，提高了運算效率。然而在子圖像合成過程中，FFBP算法需要圖像域2維逐點插值。如圖2所示，在某一級子圖像合成過程中，令子圖像I1(如圖2(a)所示)，所在局部極坐標系為LPC1，如圖2中細實線部分所示。子圖像I2(如圖2(c)所示)所在局部極坐標系為LPC2，如圖2中虛線部分所示。設點P在 LPC1中的坐標為(r1,θ1)，在LPC2中的坐標為(r2,θ2)。

在圖2中，由于P點在不同子圖像中的位置不相同，FFBP算法在子圖像合成過程中，需要分別在子圖像I1和子圖像I2中查找P點的位置(r1,θ1)和(r2,θ2)。為提高取點精度，需要圖像域2維插值操作。這在實際應用中計算量很大，計算效率不高。為進一步提升運算效率，本文提出的基于幾何校正的FFBP算法通過對子圖像進行幾何校正實現子圖像配準，避免了2維逐點插值運算，下面具體介紹。

圖2 疊加前子圖像及子圖像疊加前后局部極坐標系幾何關系圖

3 基于幾何校正的快速分級后投影算法

如圖2所示，P點在合成后的LPC(令為LPCr,如圖2中粗實線部分所示)中的坐標為(r,θ)，那么P點從LPC1到LPCr的投影過程中的位置偏移量為(Δr,Δθ)，其中距離偏移量Δr=r1?r ，角度偏移量Δθ=θ1?θ。幾何校正示意圖如圖3所示。

圖3 幾何校正示意圖

圖3中，RS為場景中心到航線的距離，Rp為P點到航線的垂直距離。ΔL為LPC1的坐標原點到LPCr原點的距離。

根據余弦定理，可得

將式(5)進行泰勒級數展開，并忽略ΔL三次及以上的高次項，得到

從式(6)可以看出，距離維平移量Δr=Δr(r1,θ1)是2維空變的，這也是FFBP需要逐點操作的原因。本文采用一定的近似(近似誤差見第4節)進行降維，令r1≈RS，則距離維平移量可表示為

在角度維，根據圖3中坐標系幾何關系，可得

化簡可得

從式(9)可以看出，角度旋轉量也是2維的，對遠場SAR成像來說，某LPC的角度因此令 Rp≈r，則式(9)可表示為

綜上所述，2維(距離維和角度維)空變的距離平移量和角度旋轉量，如式(6)和式(9)，經過相應的近似計算變為1維空變，即距離維平移量只與角度維有關系，如式(7)所示，角度維旋轉量只和距離維有關系。假設子圖像矩陣(極坐標系下)的列表示距離維，行表示角度維，這樣距離維平移就可以逐列進行，角度維旋轉就可以逐行進行。而子圖像矩陣的平移旋轉操作可以通過FFT，線性相位相乘以及IFFT實現。

經過距離平移和角度旋轉后，子圖像I1已投影至LPCr中，同理也可將子圖像I2投影至LPCr中。需要注意的是，為了避免角度維模糊，在子圖像相干疊加前需要對子圖角度維進行兩倍上采樣。這樣就完成了子圖像的幾何校正，幾何校正步驟如圖4所示。

圖4 子圖像幾何校正流程圖

下面給出本文算法的具體操作步驟。算法流程圖(以4個子孔徑為例)如圖5所示。

圖5 算法流程圖

(1)劃分子孔徑，并以每個子孔徑的中心為原點，建立各自的LPC。利用BP算法在LPC下對子孔徑信號進行成像，得到粗分辨率子圖像；

(2)對粗分辨率的子圖像分級進行幾何校正和相干疊加。在每一級處理中，根據式(7)和式(10)計算子圖像的距離平移量和角度旋轉量，并在角度維上采樣，完成對子圖像的幾何校正，然后子圖像相干疊加；如此重復，逐級合成，直至得到極坐標系下全分辨率的圖像；

(3)將極坐標系下的全分辨率圖像轉換到直角坐標系。

4 誤差分析

在進行幾何校正過程中，偏移量的推導采用了近似計算。下面對近似誤差進行分析。

在距離維，由于采用r1≈RS，距離偏移量誤差

考慮到ΔL≤La/4, La表示全孔徑長度，La= λRS/(2ρa)。另外，由圖2 中LPC幾何關系圖可知，LPC1中的極半徑r1≥RS?Wr/2, Wr為場景距離維寬度，cos(θ1)2≤1，則式(11)可化簡為

在距離維，為了獲得良好的聚焦效果，要求距離偏移量誤差δr≤ρr/4，即

整理可得

在角度維，角度旋轉誤差為

根據圖2幾何關系圖，可知Rp=rcos(θ)。由于和ΔL/r都很小，且，則式(15)可以表示為

考慮到極坐標系中，角度的范圍如式(17)

則式(16)可以化簡為

為了在角度維獲得良好的聚焦效果，要求角度旋轉誤差δθ≤ρθ/4，其中，ρθ表示角度分辨率，ρθ=ρa/(4RS)，則式(18)可表示為

通過式(14)和式(19)可以看出，在聚束模式下，采用幾何校正方法進行成像，場景觀測范圍受到限制。

5 計算量分析對比

在聚束模式下，假設圖像大小為N×N(距離維×角度維)，脈沖壓縮后的數據有N個脈沖，將全孔徑劃分為n個子孔徑，則總共需要log2n級合成。本算法第(1)步通過BP算法獲得粗糙子圖像的計算量為N3。算法在第i,i=1,2,…,log2n級合成過程中，主要處理步驟有：距離維FFT，距離維線性相位相乘和距離維IFFT；角度維FFT，角度維線性相位相乘，補零，角度維IFFT等。由于線性相位相乘和補零運算的計算量遠小于FFT和IFFT的計算量，可以忽略不計。在第i,i=1,2,…,log2n級，需要處理的子圖像共有n/2i?1個，每個子圖像大小為N×(2i?1N)/n (距離維×角度維)，則距離維FFT計算量為N2log2N，距離維IFFT計算量為N2log2N，角度維FFT計算量為N2log2(2i?1N/n)，角度維IFFT的計算量為2N2log2(2iN/n)，第i級合成總的計算量為C(i)=5N2log2N?3N2log2n+(3i?1)N2。因此，本文算法總的計算量為

對于相同的數據，FFBP算法第(1)步成像的計算量也為N3。在子圖像合成過程中，如果在距離維和角度維采用4倍臨近點FFT插值，FFBP算法總的計算量為CFFBP=N3+(10log2N+27/2)N2log2n?(5/2)N2(log2n)2。由于N≥n≥1且N,n都是正整數，因此CFFBP?C=(5log2N+13)N2log2n ?N2(log2n)2＞0恒成立。可見，相對于基于2維逐點插值的FFBP算法本方法降低了計算量。

6 仿真

為了驗證本算法的有效性，本節給出仿真數據處理結果。本仿真是在機載聚束模式下對場景中的9個點目標進行的成像仿真實驗，仿真場景為3×3的矩形點陣。各點目標編號如下：第1行3個目標編號為1～3，第2行3個點目標編號為4～6，第3行3個點目標編號為7～9，如圖6所示。雷達發射窄脈沖脈沖重復頻率900 Hz，采樣頻率600 MHz，利用表1中的參數仿真回波數據。最終圖像理論分辨率為0.3 m×0.3 m(距離向×方位向)，圖像采樣間隔為0.25 m×0.25 m(距離向×方位向)。

表1 仿真參數

仿真成像結果如圖7所示。選取編號為1的點目標(圖7中圓圈內的點)進行聚焦性能分析，其等高線圖如圖8(a)所示，散布函數的包絡如圖8(b)、圖8(c)所示。

圖7中水平方向為方位向，垂直方向為距離向。從圖7可見成像結果和仿真所用的矩形點陣(圖6)相吻合。圖8(a)為目標1的等高線圖，其水平方向為方位向，垂直方向為距離向。從圖8(b)和圖8(c)可看出散布函數包絡規整，距離向和方位向都采用32倍插值，通過計算主瓣?3 dB寬度得到方位分辨率為0.27 m。表2給出了目標1的積分旁瓣比(ISLR)和峰值旁瓣比(PSLR)。ISLR和PSLR的值也都在理論值(ISLR大約為?9.8 dB, PSLR大約為?13.26 dB )附近。這表明本文算法聚焦性能良好。

表2 聚焦性能指標(dB)

對相同的仿真數據分別采用本文算法和FFBP算法在同一臺電腦上進行處理。其中，數據大小為8192×8192(方位×距離)，電腦配置為Intel(R) Core(TM) i5-3570 CPU@3.40 GHz, RAM 4.00 GB。子孔徑個數分別為8, 16, 32, 64和128時，兩種算法的處理時間(由于電腦配置、程序優化等影響，處理時間會有差異)如圖9所示。從圖9可以看出，在本仿真中，兩條曲線都呈現下降趨勢，但是本文提出的算法處理時間比較短。

通過仿真可知，本文算法成像質量良好，并且相對于FFBP算法，本文算法處理時間短，處理效率明顯提高。

7 結束語

圖6 場景布點示意圖

圖8 本文算法成像性能分析

圖9 處理時間對比

本文提出了一種針對聚束模式的基于幾何校正的快速分級后投影算法，該算法通過基于FFT的距離維平移和角度維旋轉實現子圖像配準合成。相對于2維逐點插值運算，該方法計算量小，效率高并且處理方便簡單。然而由于距離平移量和角度旋轉量是通過近似計算得到的。為了滿足成像質量要求，成像場景的范圍受到限制。提高距離平移量和角度旋轉量的精度，擴大場景范圍并將其推廣應用到其他成像模式需要進一步研究。

[1] 保錚, 邢孟道, 王彤. 雷達成像技術[M]. 北京: 電子工業出版社, 2005: 2-6.

[2] Cumming I G and Wong F H. Digital Processing of Synthetic Aperture Radar Data: Algorithms and Implementation[M]. Norwood, MA: Artech House, 2005: 308-319.

[3] 楊澤民, 孫光才, 吳玉峰, 等. 一種新的基于極坐標格式的快速后向投影算法[J]. 電子與信息學報, 2014, 36(3): 537-544.

Yang Ze-min, Sun Guang-cai, Wu Yu-feng, et al.. A new fast back projection algorithm based on polar format algorithm [J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2014, 36(3): 537-544.

[4] Ozsoy S and Ergin A. A pencil back projection method for SAR imaging[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2009, 18(3): 573-581.

[5] Scudder H J. Introduction to computer aided tomography[J]. Proceedings of the IEEE, 1978, 66(6): 628-637.

[6] Munson D C, Jr O'Brien J D, and Jenkins W K. A tomographic formulation of spotlight mode synthetic aperture radar[J]. Proceedings of the IEEE, 1983, 71(8): 917-925.

[7] Desai M D and Jenkins W K. Convolution back-projection image reconstruction for spotlight mode synthetic aperture radar[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 1992, 1(4): 505-516.

[8] Wang Yi-duo, Xi Ping, and Xue Wei. Fast filter back projection algorithm based on hexagonal grid[C]. International Conference on Electrical and Control Engineering, Wuhan, China, 2010: 964-969.

[9] Xiao S, Munson D C Jr, and Basu S. An N2logN backprojection algorithm for SAR image formation[C]. Conference Record of the Thirty-Fourth Asilomar Conference on Signals Systems and Computers, Pacific Grove, CA, USA, 2000, 1: 3-7.

[10] Yegulalp A F. Fast back-projection algorithm for synthetic aperture radar[C]. The Record of the 1999 IEEE Radar Conference, Waltham, MA, USA, 1999: 60-65.

[11] 陳思, 趙惠昌, 張淑寧, 等. 基于dechirp彈載SAR的改進后向投影算法[J]. 物理學報, 2013, 62(21): 1-9.

Chen Si, Zhao Hui-chang, Zhang Shu-ning, et al.. An improved back projection imaging algorithm for dechirped missile-borne SAR[J]. Acta Physica Sinica, 2013, 62(21): 1-9.

[12] Durand R, Ginolhac G, and Thirion-Lefevre L. Back projection version of subspace detector SAR processors[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2011, 47(2): 1489-1497.

[13] 龐礴, 代大海, 邢世其, 等. SAR層析成像技術的發展和展望[J]. 系統工程與電子技術, 2013, 35(7): 1421-1429.

Pang Bo, Dai Da-hai, Xing Shi-qi, et al.. Development and perspective of tomographic SAR imaging technique[J]. Systems Engineering and Electronics, 2013, 35(7): 1421-1429.

[14] 張文彬, 鄧云凱, 王宇, 等. 星地雙基合成孔徑雷達聚束模式快速BP算法[J]. 雷達學報, 2013, 2(3): 357-366. Zhang Wen-bin, Deng Yun-kai, Wang Yu, et al.. A fast backprojection algorithm for spotlight mode Bi-SAR imaging [J]. Journal of Radars, 2013, 2(3): 357-366.

[15] Vu V T, Sjogren T K, and Pettersson M I. SAR imaging in ground plane using fast backprojection for mono-and bistatic cases[C]. 2012 IEEE Radar Conference, Atlanta, USA, 2012: 184-189.

[16] Zhang Lei, Li Hao-lin, and Qiao Zhi-jun. A fast BP algorithm with wavenumber spectrum fusion for high-resolution spotlight SAR imaging[J]. IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters, 2014, 11(9): 1460-1464.

[17] 高陽, 禹衛東, 馮錦, 等. 一種基于勒讓德擬合的SAR后向投影自聚焦算法[J]. 雷達學報, 2014, 3(2): 176-182.

Gao Yang, Yu Wei-dong, Feng Jin, et al.. A SAR back projection autofocusing algorithm based on Legendre approximation[J]. Journal of Radars, 2014, 3(2): 176-182.

[18] 張磊, 李浩林, 邢孟道, 等. 快速后向投影合成孔徑雷達成像的自聚焦方法[J]. 西安電子科技大學學報(自然科學版), 2014, 41(1): 69-74.

Zhang Lei, Li Hao-lin, Xing Meng-dao, et al.. Autofocusing the synthetic aperture radar imagery by the fast backprojection algorithm[J]. Journal of Xidian University(Natural Science), 2014, 41(1): 69-74.

[19] Ulander L M H, Hellsten H, and Stenstrom G. Syntheticaperture radar processing using fast factorized backprojection[J]. IEEE Transactions on Aerospace Electronic Systems, 2003, 39(3): 760-776.

左紹山： 男，1988年生，博士生，研究方向為SAR成像.

楊澤民： 男，1988年生，博士生，研究方向為星載SAR成像.

孫光才： 男，1984年生，講師，研究方向為SAR成像和動目標檢測.

邢孟道： 男，1975年生，教授，博士生導師，研究方向為雷達成像和目標識別.

Geometric Correction Based Fast Factorized Back Projection Algorithm for Spotlight SAR Imaging

Zuo Shao-shan Yang Ze-min Sun Guang-cai Xing Meng-dao
(National Laboratory of Radar Signal Processing, Xidian University, Xi'an 710071, China)

Compared with the Back Projection Algorithm (BPA), the interpolation load of the Fast Factorized Back Projection Algorithm (FFBPA) is released. However, the 2D interpolation in the image domain is essential for the FFBPA and the intensive computational burden limits its application in practice. This paper presents the geometric correction based FFBPA for the spotlight SAR imaging. In this algorithm, the sub-image registration is accomplished by the geometric correction method that the sub-image projection in the different coordinate systems and sub-image fusion are fulfilled by the shift in the range dimension and the rotation in the angle dimension. Thus the method avoids the individual interpolation and it is more efficient than the FFBPA. Simulation results validate its imaging performance and efficiency.

SAR; Spotlight; Fast Factorized Back Projection Algorithm (FFBPA); Geometric correction; Individual interpolation

TN957.51

： A

：1009-5896(2015)06-1389-06

10.11999/JEIT141254

2014-09-26收到，2015-02-09改回

國家自然科學青年基金(61301292)和教育部博士點基金(20130203120007)資助課題

*通信作者：左紹山 zuoshaoshan@126.com