風險調整收益的最新研究進展及分類

陳磊+梁僖

摘 要：風險調整收益是評價投資組合績效的重要指標，過去數十年涌現了大量的相關文獻。對這些相關文獻進行整理綜述，并按照風險測度方法的不同將指標分為基于方差、β系數、偏矩、價格跌幅、VaR的風險調整收益指標五類。投資者可以根據其風險偏好選擇最適合的評價指標。

關鍵詞：夏普比率;業績評估;風險調整收益

投資者最關心的莫過于投資組合的業績表現，評價投資組合或單項資產的績效有助于分析資產投資特性，及時調整投資策略。風險調整收益是一類重要的業績評價方法，其基本思路是對收益加以風險調整得到一個綜合性指標，以體現風險對收益的影響。本文將對20世紀60年代至今出現的重要風險調整收益指標做一個分類綜述。

一、基于方差或貝塔系數的傳統風險調整收益指標

1966年諾貝爾經濟學獎得主威廉·夏普[1]基于資本市場線理論提出夏普比率，計算公式為：

SR=（1）

式中rP表示考察期間組合平均收益率，rF為無風險收益率，σP為以收益率標準差表示的總風險。夏普比率是目前應用最廣泛的績效評價指標，其值越大說明投資績效越好。

夏普比率是一個相對比率，有些偏好絕對收益的投資者需要一個能更加直觀地衡量業績的指標，M2測度[2]因此對夏普比率做出改寫：

M2=rP+SR×（σM-σP） （2）

或

M2=（rP-rF）×+rF （3）

其中σM表示市場組合或基準組合風險。M2測度與夏普比率對組合業績的排序是一致的。

與夏普比率類似的有特雷諾比率（Treynor Ratio）[3]，其分母用貝塔系數βP計算的系統風險替代了標準差：

TR=?（4）

特雷諾比率忽略了非系統風險，而國內很多投資基金的資產組合都沒有完全分散化，并不適宜用特雷諾比率評估績效。

詹森指數（Jensen—α）[4]和特雷諾比率同樣以證券市場線為基礎，但它是一個絕對指標：

α=rP-E（rP）=rP-[rF+（rM-rF）βP] （5）

rM為評價期間市場組合平均收益率，α>0說明組合績效優于市場績效。

Treynor和Black[5]（1973）提出的估價比率（Appraisal Ratio）中用到了詹森指數：

Appraisal Ratio= （6）

其中σε是非系統風險的度量。若組合已經充分分散化，則非系統風險很小，估價比率應該很大，故在某種程度上估價比率也可以說是對組合分散程度的一個評估。

基金經理的投資風格和目標各不相同，在評估績效時應有一個基準做比較，信息比率[6]（Information Ratio）應運而生：

IR= （7）

dP是實際業績與基準業績間差異收益率的均值，σdP是差異收益率的標準差，通稱跟蹤誤差（Tracking Error），反映了積極管理的風險。信息比率越大說明積極管理的績效越好。

統計研究表明，大部分權益類金融產品回報率的概率分布都呈現尖峰厚尾的特征，夏普比率的正態性假設將低估組合風險。Pézier[7]（2006）提出經偏度和峰度調整的夏普比率，負偏態分布和高峰度將使得調整后的值較調整前有所下降：

Adjusted Sharpe Ratio=SR×1+×SR-×SR2 （8）

二、基于半方差的風險調整收益指標

后現代資產組合理論（Post-modern Portfolio Theory，PMPT）認為，按照投資風險的定義，應只將收益率相對均值的負向波動計入風險，由此衍生出一系列風險調整績效指標。

下行風險[8]（Downside Risk）只反映資產價格降低的風險：

σD= （9）

這里rT表示可接受的最低目標收益率，可以選取無風險收益率、基準組合收益率或其他固定的閾值，ri為投資組合各期收益率。

預期損失可能[8]（Downside Potential）定義為：

Downside Potential= （10）

Downside Potential實際上就是一階下偏矩（Lower Partial Moments，LPM），σD是二階下偏矩的開方。對應地還有Upside Potential[9]：

Upside Potential=? ?（11）

Shadwick和Keating[10]在2002年提出了一個收益損失比——OmegaRatio：

Ω== （12）

Ω值越高，績效越好。也可修改成與夏普比率相近的形式：

Omega-SharpeRatio=（13）

由于Omega-SharpeRatio=Ω-1，兩者的績效排序是完全相同的[11]。

Sharpe Ratio和Omega-SharpeRatio的一個自然延伸是由Sortino[12]（1991）提出的Sortino Ratio：

Sharpe Ratio=（14）

三、基于VaR方法的風險調整收益指標

VaR[13]（Value at Risk）風險價值，指在一定的置信水平下，某一金融資產或證券組合在未來特定一段時間內的最大可能損失，是目前國際流行的風險測度指標。使用VaR作為風險測度的夏普式比率被稱為收益風險價值比率[14]（Reward to VaR）：endprint

Reward to VaR=（15）

這里的VaR ratio表示VaR使用百分比而非數量的形式。VaR依然不能保證損失不超過給出的數值，如果需要考慮超出置信水平外的損失，應使用條件VaR[15]（Conditional VaR）。將Reward to VaR中的分母改為條件VaR就是條件夏普比率[16]：

Conditional Sharpe Ratio=（16）

就偏度和峰度對VaR做出調整得到修正VaR（Modified VaR）[17]。將夏普比率的分母改成MVaR則得到修正夏普比率[18]：

Modified Sharpe Ratio= （17）

四、基于收益跌幅的風險調整收益指標

收益跌幅（Drawdown）指投資期內一次無間斷的資產縮水幅度，其均值即平均跌幅（Average drawdown）：

D=（18）

這里Dj指考察期（通常為三年）內第j個收益跌幅，d為下跌總數。有人認為，只有收益率序列中最大的幾次下跌才能說明問題，因此也可以限定d為常數，比如3或5。

歷史最大跌幅（Maximum drawdown）指某特定時間段（通常取三年）內投資者可能遭受的最大損失，即在最高點買入在最低點賣出的損失，一定程度上反映了組合管理者風險控制的能力。

基于收益跌幅有三種廣泛使用的風險估值指標，分別是Calmar比率、Sterling比率和Burke比率，常用于評價管理期貨基金和對沖基金。

Calmar比率是1991年Terry Young[19]提出的：

Calmar Ratio=（19）

表示歷史最大跌幅，經典的Calmar比率使用最近三年的月度數據計算。Calmar比率越高，基金業績越好。

Sterling比率的最初提出者很可能是Deane Sterling Jones[20]，后來改成類似夏普比率的形式：

Sterling Ratio=（20）

Sterling比率使用三年的年度數據計算，因此在敏感度上不如Calmar比率。實際上，最常用的Sterling變式是Sterling比率和Calmar比率的結合，分母使用三年年平均最大跌幅[21]：

Sterling-Calmar Ratio= （21）

Burke[22]（1994）提議通過平方和開根號的方式，突出劇烈下跌相對于溫和減值的影響：

Burke Ratio= （22）

1987年Peter Martin[23]提出潰瘍指數（Ulcer Index，也稱Martin Index）：

Ulcer Index= （23）

D'i表示第i期收益率相比歷史最高水平的跌幅，n為使用數據的期數，Martin建議使用周度或者每日數據。潰瘍指數考慮了下跌的持續時間，有助于識別那些僅在短期有收益或者長期來看實際沒有收益的資產。Martin比率（Martin Ratio or Ulcer Performance Index，UPI）使用潰瘍指數作為分母：

Martin Ratio=（24）

應避免投資潰瘍指數高的資產，除非其經風險調整后仍然表現出超高的收益率。

五、總結

綜上所述，過去數十年來，風險調整業績指標研究發展迅速，按照風險測度方法的不同，分類總結（見表1）。

我們該如何從中選擇一個最優的績效評價指標？Eling和Schuhmacher[24]的研究表明這些指標形式相近且高度相關，績效排序結果大致相同，許多其他文獻也印證了他們的觀點。然而不同指標反映了不同的風險偏好，例如VaR和跌幅類指標比較注重風險，適于保守型的投資者，而那些樂觀的投資者會更偏向于偏矩類指標。因此，投資者可以選取最能反映自己風險偏好的指標來評價資產組合績效，幫助做出投資決策。

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