Phase-type分布在隨機退化模型中的應用

張權，張金珠，韓旸，李艷君

（1.齊齊哈爾大學理學院，黑龍江齊齊哈爾 161006；2.北京理工大學數學與統計學院，北京 100081；3.河北工業大學機械工程學院，天津 300401）

Phase-type分布在隨機退化模型中的應用

張權1,2，張金珠3，韓旸1，李艷君1

（1.齊齊哈爾大學理學院，黑龍江齊齊哈爾 161006；2.北京理工大學數學與統計學院，北京 100081；3.河北工業大學機械工程學院，天津 300401）

Phase-type分布是一類應用廣泛的分布，主要用在隨機模型領域，例如：通訊、金融、排隊論、可靠性和生存分析．本研究的目的在于針對隨機退化模型，利用Phase-type分布的形式，建立了有限狀態空間的馬氏過程．同時假設維修時間和失效時間的分布是Phase-type分布，研究了幾類特殊的具有兩元件的隨機退化模型，并給出各模型的Q矩陣及其他感興趣的量．

Phase-type分布；串聯系統；并聯系統；冷儲備系統，可靠性

Phase-type分布于1975年Neuts[1]引入，從此，PH分布就被廣泛的應用在通訊、金融、生物統計、排隊論、生存分析[2]、可靠性[3]等領域．PH分布之所以能應用的如此廣泛，主要是因為他們構成了一類定義在非負實數空間的靈活的分布類．比如，在可靠性領域，當PH分布取代指數分布后，他們的公式表示仍然保持著馬爾科夫結構，這對問題的研究很有利，1917年，Erlang[4]第一個用階段法推廣指數分布，Neuts[5]推廣了Erlang的階段法，通過定義一個PH隨機變量，這個隨機變量表示，在一個具有吸收態有限連續的馬氏過程中，從某個狀態出發直到吸收狀態轉移所花的時間，然后引入了PH分布．最近，關于PH分布的文獻也很多[6-10]．現有的關于可靠性研究的大部分文章，所涉及的概率分布均假定是指數分布，這有一定的局限性，phase-type分布可以任意的近似其它分布，這就是研究本文的意義所在．特別是在原有的模型中，例如串聯、并聯、冷儲備等常用的系統，均沒有利用phase-type分布進行研究的．鑒于此，本文主要研究串聯、并聯、冷儲備這幾種特殊的系統．每個系統中的元件具有退化效應，通過模型給出各個系統的Q矩陣及主要指標．

1 基本定義

定義1一個具有狀態空間1,,m+1的馬爾科夫過程，它的轉移率矩陣為

2 串聯系統

眾所周知，在馬爾科夫可修系統下，矩陣與初始向量給出后，其他各項指標均能如愿獲得，見文獻[11]．

3 并聯系統

4 冷儲備系統

系統由2個不同元件和一個修理設備組成，第i（i=1,2）個元件的壽命Xi的分布為PHi,T i，序為mi，故障后的修理時間Yi的分布為PHi,S i，序為ni．若2個元件都正常工作，則一個部件工作，另一個部件作冷儲備，工作部件發生故障時，儲備部件立即替換而轉為工作狀態，修理設備立即對故障部件進行修理，當修理設備正在修理某個故障部件時，另一個故障部件必須等待修理，修理好的部件或進入儲備狀態或立即進入工作狀態，這個模型可作為具有m1+m2+m1n2+n1m2+n1+n2個狀態的馬氏過程來研究，狀態空間可被分為6個狀態集，狀態集表示為0，1，2，3，4，5．

狀態集0：元件1正常工作，元件2儲備，狀態集用單點集i來表示，1im1．

狀態集1：元件2正常工作，元件1儲備，狀態集用單點集j來表示，1jm2．

狀態集2：元件1工作，元件2修理，狀態集用數對i,j來表示，其中：1im1，1jn2．

狀態集3：元件2工作，元件1修理，狀態集用數對i,j來表示，其中：1in1，1jm2．

狀態集4：元件1修理，元件2待修，狀態集用單點i來表示，1in1．

狀態集5：元件2修理，元件1待修，狀態集用單點j來表示，1jn2．

同理，給定Q矩陣冷儲備系統的各項指標也能求得．

5 數值算例

5.1 從Q矩陣出發，求系統可靠性的穩態指標和平均指標

5.2 系統首次故障前的平均時間（MTTFF）

若令狀態3和4為吸收態，得Q的子矩陣

5.3 系統的可靠性（詳見文獻[11]）

5.4 數值例子

6 結論

本文利用Phase-type分布的形式，構建了馬爾科夫模型，并針對串聯系統、并聯系統、冷儲備系統模型，給出了各個系統隨機退化模型的Q矩陣．然后，在馬氏可修系統中，通過一個數值算例驗證了本文的結論．

[1]Neuts MF．Probability distributions of phase type[J]．Liber Amicorum Prof Emeritus H Florin，Dept Math Univ Louvain，1975，66：173-206．

[2]FackrellM．Characterizationofmatrix-exponentialdistributions[D]．SouthAustrlia：SchoolofAppliedMathematics，UniversityofAdelaide，2003．

[3]Faddy M J．Compartmental models with phase-type esidence-time distributions[J]．Appl Stoch Models Data Anal，1990，6：121-127．

[4]ErlangAK．Solutionofsomeproblemsinthetheoryofprobabilitiesofsignificanceinautomatictelephoneexchanges[J]．PostOffElectrEng，1917，10：189-197．

[5]Neuts M F．Matrix-geometric solutions in stochastic models—An algorithm approach[M]．Baltimore：John Hopkins University Press，1981．

[6]Montoro-Cazorla D，Pérez-Ocón R，SegoviaMC．Shockandwear modelsunder policyNusingphase-type distributions[J]．AppliedMathematical Modelling，2009，33：543-554．

[7]Montoro-CazorlaD，Pérez-OcónR，SegoviaM C．ReplacementpolicyinasystemundershocksfollowingaMarkovianarrival process[J]．Reliability Engineering and System Safety，2009，94：497-502．

[8]Montoro-Cazorla D，Pérez-OcónR．Twoshockand wear systems under repair standinga finite number of shocks[J]．EuropeanJournal Operational Research，2011，214：298-307．

[9]Montoro-Cazorla D，Pérez-Ocón R．Shock and wear degradating systems under three types of repair[J]．Applied Mathematics and Computation，2012，218：11727-37．

[10]Montoro-CazorlaD，Pérez-OcónR．Ashockandwearsystemunder environmentalconditionssubjecttointernalfailuresrepairandreplacement[J]．Reliability Engineering and System Safety，2012，99：55-61．

[11]曹晉華，程侃．可靠性數學引論[M]．北京：高等教育出版社，2006．

[責任編輯 楊屹]

The use of Phase-type distribution in stochastic degradation model

ZHANG Quan1,2，ZHANG Jinzhu3，HAN Yang1，LI Yanjun1

(1.Science College,Qiqihaer University,Heilongjiang Qiqihaer 161006,China;2.School of Mathematics and Statistics,Beijing InstituteofTechnology,Beijing100081,China;3.SchoolofMechanicalEngineering,Hebei UniversityofTechnology,Tianjin300401, China)

Phase-type distributions have a wide application and have been mainly used in various areas of stochastic modeling such as telecommunications,finance,queueing theory,reliability and survival analysis,etc.This research is to utilize the formalismof Phase-type distributions,constructfinite state Markov processes for stochastic degradation model. Assuming that the time-to-failure and repair time distributions are of Phase type,several classes of special stochastic degradation models with two components are studied,and Q matrixes of all models and quantities of interest are given.

Phase-type distribution;series system;parallel system;cold standby redundancy system;reliability

O 213；O211.62

A

1007-2373(2015)04-0038-04

10.14081/j.cnki.hgdxb.2015.04.008

2014-03-16

國家科技支撐計劃（2013BAK12B0803）；黑龍江省教育廳項目（12541900）

張權（1978-），男（漢族），講師，博士生，zhangquan122400@163.com．