一道三角形題的糾錯(cuò)教學(xué)與思考

郝志永

一、考情分析

問題：已知△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，a2 + b2 < c2，且sin2C -（1）求角C的大小；（2）的取值范圍.

解三角形是高考試題中相對(duì)比較簡單的題目，出錯(cuò)率達(dá)60%，針對(duì)這種現(xiàn)象，筆者用投影儀展示出如下題目：

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a = b cos C + c sin B.（1）求角B；（2）若b = 2，求△ABC面積的最大值.

通過對(duì)這道高考題目的批改，只有一名同學(xué)沒有全對(duì)，所以效果不錯(cuò). 現(xiàn)將這節(jié)課的糾錯(cuò)過程整理出來，供讀者參考. 二、教學(xué)回放

（一）問題分析

師：上文解三角形題. 如何理解題目中的條件a2 + b2 < c2.

生1：結(jié)合余弦定理cos C = < 0，可以推出角C為鈍角.

師：很好，其實(shí)還可以結(jié)合余弦定理進(jìn)一步推導(dǎo)出三邊的關(guān)系，哪名同學(xué)補(bǔ)充一下？

生2：因?yàn)橛嘞叶ɡ碇械姆帜?ab 大于零，所以當(dāng)a2 + b2 > c2時(shí)C為銳角，當(dāng)a2 + b2 = c2時(shí)C為直角，當(dāng)a2 + b2 < c2時(shí)為鈍角.

師：生2 利用三角形的邊長恒為正數(shù)這一條件，把分式的判斷轉(zhuǎn)化為分子的判斷，同學(xué)們?nèi)绾吻蟮娜≈捣秶?/p>

生3：因?yàn)槭潜戎店P(guān)系，所以符合正弦定理的邊角互化，利用正弦定理把邊的比值轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的比值，再結(jié)合輔助角公式，利用三角形內(nèi)角和為180°，確定出角A的取值范圍，進(jìn)而得到答案.

師：不錯(cuò)，結(jié)合的非常好，同學(xué)們還有哪些思路呢？

生4：利用三角形的邊長大于零，結(jié)合均值不等式（均值不等式的首要條件是a > 0，b > 0）就可以求出答案.

師：這兩種解題方法在解題過程中出現(xiàn)不少失誤，那么我們一起分析一下解題過程.

（二）糾錯(cuò)分析

1.第一問糾錯(cuò)分析

師：同學(xué)們，生9的解法怎么樣？

生10：生9方法非常好，利用余弦定理，結(jié)合均值不等式，看著思路也沒有錯(cuò)，但為什么答案不一樣呢？

師：大家可以考慮一下對(duì)生5解法進(jìn)行補(bǔ)充或糾正，使之正確.

生11：問題出在沒有考慮到在三角形中，兩邊之和大于第三邊，即a + b > c，所以 > 1.

師：說的很好，不僅指出問題，而且解決了問題. 我們這節(jié)課主要是研究了一些同學(xué)的錯(cuò)誤解法，認(rèn)真總結(jié)經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，希望能對(duì)今后的學(xué)習(xí)有幫助.

3. “糾錯(cuò)”應(yīng)用

通過本堂課的學(xué)習(xí)把“會(huì)而出錯(cuò)”的錯(cuò)點(diǎn)克服掉，是糾錯(cuò)分析后的一次應(yīng)用，更是對(duì)本堂課的深層理解.