函數應用問題中的模型與方法

李紅春 吳彤

應用題是高考解答題的重要組成部分，主要考查考乍運用數學知識解決實際問題的能力，而函數是高中數學的主干和核心知識，以函數知識為背景的應用題一直活躍在高考的舞臺，引人關注。隨著知識的更新，函數應用問題中的模型也越來越新穎。現擷取高中階段函數應用問題中的熱點模型，并結合最新實例加以分析，旨在展示解題規律，揭示解題方法，希望能對大家的學習有所幫助。

一、二次函數型

例1 有一家公司準備裁減人員。已知這家公司現有職員2m（160<2m<630，且m為偶數）人，每人每年呵創利n（n>0）萬元。據評估，在經營條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創利0.02n萬元，但公司需付給下崗人員每人每年0.8n萬元的生活費，并且該公司正常運轉所需人數不得小于現有職員數的3/4。為獲得最大的經濟效益，該公司應裁員多少人？

解析：設應裁員x人，可獲得的經濟效益為y萬元。

y=（2m-x（n+0.02nx）-0.8nx.

整理得。

二次函數，的圖像的對稱軸為直線x=m-45。由，得：當xm-45時，y單調遞減。

由該公司正常運轉所需人數不得小于現有職員數的，得，則

由m為偶數，得m/2為整數。

由160<2m<630，得80

解析：（1）當x≥7時，f（x+l）-f（x）=

當x≥7時，函數y=（x-3）（x-4）單調遞增，且（r-3）（r-4）>0，則f（x+l）-f（x）單調遞減，故當x≥7時，掌握程度的增長量f（x+1）-f（x）總是下降。

（2）由題意知

整理得

解得

123.0∈（121，127]，由此可知該學科是乙學科。

點評：高中階段涉及對數函數的應用問題不多，本題背景新穎，將生活與數學問題有機結合起來，解題時要將所求結果準確回歸到應用問題中去。

五、分段函數型

例5 在淘寶網上，某店鋪專賣某地某種特產。以往的經驗表明，不考慮其他因素，該特產每日的銷售量y（單位：kg）與銷售價格x（單位：元/kg，l（1）求a、b的值，并確定y關于x的函數解析式。