利用對稱求函數的解析式

陳東敏

對稱是高中數學中一種很重要的關系，它包括點對稱和軸對稱。利用對稱求函數的解析式是高考中的常見題型，所以有必要學好它。現舉例說明如何利用對稱求函數的解析式。

一、軸對稱

1.點（x，y）關于x軸的對稱點是（x，-y）。

2.點（x，y）關于y軸的對稱點是（一x，y）。

3.點（x，y）關于直線x=a的對稱點是（2a-x，y）。

4.點（x，y）關于直線y=a的對稱點是（x，2a-y）。

5.點（x，y）關于直線y=x的對稱點是（y，x）。

6.點（x，y）關于直線y=x+b的對稱點是（y-b，x+b）。

例1 設函數f（x）的圖像關于直線x=l對稱，若當x≤1時，，則當x>1時，f（x）=____。

解析：設（x，y）（x>l）是x>1時f（x）的圖像上任意一點，則點（x，y）關于直線x=l的對稱點在的圖像上。

點（x，y）關于直線x=1的對稱點是（2-x，y）（2-x故當x>1時

例2 已知函數f（x）的圖像過點（0，1），且與函數的圖像關于直線y=x-l成軸對稱，求f（x）的解析式及定義域。

解析：設（x，y）是f（x）的圖像上任意一點。

由函數f（x）的圖像與函數1的圖像關于直線y=x-l成軸對稱，得點（x，y）關于直線y=x-1的對稱點在函數-1的圖像上。

點（x，y）關于直線y=x-1的對稱點是（y+l，x-l），則，即x+a=，故

由函數f（x）的圖像過點（0，l），得f（0）=1，即，解得a=l。

故，其定義域為（-l，+∞）。

二，點對稱

1.點（x，y）關于原點的對稱點是（-x，-y）。

2.點（x，y）關于點的對稱點是

例3 已知函數f（x）的圖像與函數g（x）=的圖像關于點（0，1）對稱，求函數f（x）的解析式。

解析：設（x，y）是函數f（x）的圖像上任意一點。

由函數f（x）的圖像與函數g（x）的圖像關于點（0，1）對稱，得點（x，y）關于點（0，1）的對稱點在函數g（x）的圖像上。

點（x，y）關于點（O，l）的對稱點是（-x，2-y），則，故

故

例4 已知f（x）為奇函數，當x<0時，f（x）=x（1-x），則當x>0時，f（x）的解析式為_____。

解析：由f（x）為奇函數，得函數f（x）的圖像關于原點對稱。

設（x，y）（x>O）是x>O時f（x）的圖像上任意一點，則點（x，y）關于原點的對稱點在f（x）=x（l一x）（x