函數性質的融合型問題

趙彥青

單調性、周期性、奇偶性是函數的三條重要性質，是歷年來高考的熱點。既可以單獨考查某條性質，也可以綜合考查幾條性質?，F分類談談函數性質的融合型問題。

一、單調性與奇偶性的融合

如果已知函數在某區(qū)間上的單調性，則可以利用函數的奇偶性判斷函數在與已知區(qū)間對稱的區(qū)間上的單調性。解答時主要是利用奇偶性進行f（x）與f（-x）的轉換，利用單調性進行大小的比較等。

例1 已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增。若實數a滿足則實數a的取值范圍是（）。

解：由函數f（x）是定義在R上的偶函數，得，則不等式可化為。又偶函數f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增，故，解得。

二、單調性與周期性的融合

一般是給出函數的單調區(qū)間，要求利用周期性確定函數在其他區(qū)間上的單調性，然后解決相關的問題，或利用周期性對函數值及自變量的范圍進行轉化，使其轉化到相關的單調區(qū)間內。

例2 設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R，恒有f（x+l）=f（x-l）。已知當x∈[o，1]時，。試判斷函數f（x）在區(qū)間（1，2）與（2，3）上的單調性。

解：由f（x+1）=f（x-l），得函數f（x）是周期函數，且2是其一個周期。

由f（x）是偶函數，得f（x-1）=f（l-x）。結合f（x+1）=f（x-1），得f（l+x）=f（l-x），則函數f（x）的圖像關于直線x=l對稱。

當x∈[o，1]時，單調遞增，則函數f（x）在區(qū)間（1，2）上單調遞減，在區(qū)間（2，3）上單調遞增。

三、奇偶性與周期性的融合

解答時主要利用奇偶性與周期性不斷進行自變量的轉化，轉化方式主要圍繞f（x）±f（-x）=0、f（x+a）=f（x）等。

例3 若f（x）是定義在R上的奇函數，5是其一個周期，且滿足f（1）=1，f（2）=2，則f（3）-廠（4）=____。

解：由f（x）是奇函數，得f（-x）=-f（x）。

由5是函數f（x）的一個周期，得f（x-5）=f（x）。

f（3）=-f（-3）=-f（2-5）=-f（2）=-2；f（4）=-f（4）=-f（1-5）=-f（l）=-l。

f（3）-f（4）=-2+1=-1。

四、單調性、奇偶性與周期性三者的融合