一類無理函數最值問題的常見解法

李生兵

題目 已知函數的最大值為M，最小值為m，則的值為（）。

解法1：平方法。

函數f（x）的定義域為[-3，1]。

令

由g（x）的圖像可知：當z∈[-3，-1]時，g（x）單調遞增；當x∈[-1，1]時，g（x）單調遞減。故當x∈[-3，-1]時，g（x）的最大值為g（-l）=4，最小值為g（-3）=g（1）=0。

故

又廠（x）>0，從而

故，m=2。

解法2：構造向量法。

函數f（x）的定義域為[-3，1]。

設向量

設向量a、6的夾角為θ。

根據圖像，當，即x=-l時，cosθ取得最大值l，則a·b的最大值為，即f（x）的最大值為；當0或，即x=1或x=-3時，cosθ取得最小值，則a·b的最小值為2，即f（x）的最小值為2。

故，m=2。

注：也可利用|a·b|≤|a|·|b|，即，當且僅當，即x=-l時，等號成立，得。

解法3：三角換元法。

函數f（x）的定義域為[-3，1]。

設。易得y>0。

令，則

由，且1，得：當時，y取得最小值2，即f（x）取得最小值2；當時，y取得最大值，即f（x）取得最大值。

故，m=2。

解法4：數形結合法。

設，則且

方程（l）表示斜率為-1的線段ι；方程（2）表示以（0，0）為圓心、半徑為2的圓周的1/4（不妨設為曲線c）。

原問題可轉化為：線段ι過曲線C上的點，求線段ι在v軸上的截距y的取值范圍。

結合圖像，可得：當線段ι過曲線C上的點（O，2）和（2，O）時，y取得最小值2；當線段ι與曲線C相切時，y取得最大值，易求得該最大值為。 對于形如（ac≠0，其中（ax+b）+（cx+d）為常數）的無理函數最值（值域）問題，除了用上述方法解決，還可利用導數法等方法解決。

跟蹤訓練

1.求函數的最大值和最小值。

2.求函數的值域。

參考答案：l.y的最小值為1，最大值為。2.所求值域為。